Kątem zewnętrznym trójkąta nazywamy każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta.

RJmUXAnsYe7G11

Rysunek trójkąta z oznaczonym kątem wewnętrznym alfa oraz kątami zewnętrznymi beta i gamma przy tym samym wierzchołku.

$\beta ,\gamma$ – kąty zewnętrzne, przyległe do kąta $\alpha$

Jak myślisz, czy z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt? Jaka musi być zależność miedzy długościami takich odcinków?
Sprawdź swoje przypuszczenia, wykorzystując poniższą konstrukcję. Zmieniaj długość jednego z odcinków i obserwuj, w jakiej sytuacji można z danych odcinków zbudować trójkąt.

RmZsUcjn0Nm021

Animacja ilustruje nierówność trójkąta. Dane są odcinki a, b i c, które są bokami trójkąta A B C. Należy zmieniając długość jednego odcinka obserwować, czy zawsze da się skonstruować trójkąt.

Animacja ilustruje nierówność trójkąta. Dane są odcinki a, b i c, które są bokami trójkąta A B C. Należy zmieniając długość jednego odcinka obserwować, czy zawsze da się skonstruować trójkąt.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dp4OWTyJp

Trójkąta nie dało się zbudować, gdy jeden z odcinków był dłuższy od sumy dwóch pozostałych odcinków.

W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
Z odcinków o długościach $a,\mathrm{ b},\mathrm{ c}$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

Czy pamiętasz ile stopni jest równa suma miar kątów trójkąta?

RonBQtrKgowf21

Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C. Oznaczamy kąty wewnętrzne trójkąta odpowiednio alfa, beta, gamma. Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez wierzchołek C. W wierzchołku C zaznaczamy dwa kąty zewnętrzne do kąta gamma. Są one równe miarom kątów alfa i beta trójkąta, jako kąty naprzemianległe. Suma kątów alfa, beta i gamma jest równa sumie kątów zewnętrznych i gamma, które tworzą kąt półpełny o wierzchołku C. Ich suma jest równa 180 stopni. Otrzymujemy wzór alfa + beta + gamma = 180 stopni.

Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C. Oznaczamy kąty wewnętrzne trójkąta odpowiednio alfa, beta, gamma. Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez wierzchołek C. W wierzchołku C zaznaczamy dwa kąty zewnętrzne do kąta gamma. Są one równe miarom kątów alfa i beta trójkąta, jako kąty naprzemianległe. Suma kątów alfa, beta i gamma jest równa sumie kątów zewnętrznych i gamma, które tworzą kąt półpełny o wierzchołku C. Ich suma jest równa 180 stopni. Otrzymujemy wzór alfa + beta + gamma = 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dp4OWTyJp

R4Q4jkm6ty6Qz1

Animacja prezentuje trójkąt A B C, którego kąty A =80 stopni i B =51 stopni.. Kąty A, B, C tworzą kąt półpełny, więc kąt C ma miarę 49 stopni.

Animacja prezentuje trójkąt A B C, którego kąty A =80 stopni i B =51 stopni.. Kąty A, B, C tworzą kąt półpełny, więc kąt C ma miarę 49 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dp4OWTyJp

Suma miar kątów trójkąta jest równa $180°.$

RBFsGGoPObeUY1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, beta, gamma. Alfa + beta + gamma =180 stopni.

Znajdź miarę kąta $\alpha$.

R16gVfbNiC2d41

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, 80 stopni i 30 stopni.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa $180°.$

Odpowiedź. Miara kąta $\alpha$ jest równa $70°.$

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę $40°.$ Oblicz miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne – rozpatrzymy dwa przypadki.
Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa $180°$.

• Przypadek $I$

Kąt o mierze $40°$ jest kątem między ramionami trójkąta.

R1WiuC6bliTgm1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, alfa i 40 stopni.

Odpowiedź. Miary pozostałych kątów trójkąta są równe $70°$ i $70°.$

• Przypadek $\mathrm{II}$

Kąt o mierze $40°$ jest kątem przy podstawie trójkąta.

RsBLfkX5fdClA1

Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych beta, 40 stopni i 40 stopni.

Odpowiedź. Miara kąta $\beta$ jest równa $100°.$

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą, zawierającą przeciwległy bok i prostopadły do tej prostej. Trójkąt ma trzy wysokości.

R3MBAta805rMa1

Rysunek trzech trójkątów. Trójkąt ostrokątny o bokach a, b, c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c. Trójkąt rozwartokątny o bokach a, b, c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c.

Jakie jest wzajemne położenie prostych, zawierających wysokości trójkąta?

R1UsyzFaEt65V1

Rysunek trójkąta rozwartokątnego A B C, gdzie C jest wierzchołkiem kąta rozwartego. Wysokość h z indeksem dolnym jeden poprowadzona z wierzchołka C, h z indeksem dolnym dwa poprowadzona z wierzchołka B, h z indeksem dolny trzy poprowadzona z wierzchołka A. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H, który leży poza trójkątem.

Zauważmy, że proste, w których zawierają się wysokości rozpatrywanego trójkąta przecięły się w jednym punkcie.
Czy proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się zawsze w  jednym punkcie? Okazuje się, że tak, niezależnie od rodzaju trójkąta.

Punkt, w którym przecinają się proste zawierające wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum trójkąta i oznaczamy go najczęściej dużą literą $H$.

Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta, zbuduj trójkąt prostokątny, ostrokątny lub rozwartokątny. Sprawdź w każdym przypadku, gdzie znajduje się ortocentrum trójkąta.
Jakie jest położenie ortocentrum trójkąta ostrokątnego? A prostokątnego? A rozwartokątnego?

R18fsMg84FQlc1

Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstruowanie ortocentrum trójkąta. Dany jest trójkąt A B C, w którym poprowadzono proste zawierające wysokości trójkąta, czyli proste poprowadzone z wierzchołka trójkąta prostopadłe do prostej zawierającej jego przeciwległy bok. Dla ułatwienia proste nazwijmy wysokościami trójkąta. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta należy obserwować wysokości, czy zawsze przecinają się w jednym punkcie. Zauważamy, że zawsze, niezależnie od kształtu trójkąta, trzy proste zawierające jego wysokości, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. Gdy trójkąt jest ostrokątny to jego ortocentrum znajduje się w jego wnętrzu, gdy prostokątny to leży na środku przeciwprostokątnej, a gdy rozwartokątny, wówczas znajduje się poza trójkątem.

Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstruowanie ortocentrum trójkąta. Dany jest trójkąt A B C, w którym poprowadzono proste zawierające wysokości trójkąta, czyli proste poprowadzone z wierzchołka trójkąta prostopadłe do prostej zawierającej jego przeciwległy bok. Dla ułatwienia proste nazwijmy wysokościami trójkąta. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta należy obserwować wysokości, czy zawsze przecinają się w jednym punkcie. Zauważamy, że zawsze, niezależnie od kształtu trójkąta, trzy proste zawierające jego wysokości, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. Gdy trójkąt jest ostrokątny to jego ortocentrum znajduje się w jego wnętrzu, gdy prostokątny to leży na środku przeciwprostokątnej, a gdy rozwartokątny, wówczas znajduje się poza trójkątem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dp4OWTyJp

W trójkącie ostrokątnym ortocentrum leży we wnętrzu trójkąta.
W trójkącie prostokątnym ortocentrum leży w wierzchołku kąta prostego.
W trójkącie rozwartokątnym ortocentrum leży na zewnątrz trójkąta.

Opiszmy na trójkącie okrąg i utwórzmy ortocentrum $H$ trójkąta.
Przekształcamy ortocentrum trzykrotnie w symetrii osiowej względem każdego z boków tego trójkąta.
Otrzymujemy punkty: $H_1, H_2, H_3$. Gdzie leżą te punkty?

R1VI9iHXVsJYp1

Rysunek trójkąta ostrokątnego A B C. Wysokości: H z indeksem dolnym jeden, H z indeksem dolnym dwa, H z indeksem dolnym trzy, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków A, B i C przecinają się w punkcie H.

Otrzymane punkty $H_1, H_2, H_3$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Wyznaczamy środki boków trójkąta. Znajdujemy obrazy ortocentrum $H$ tego trójkąta w symetrii środkowej względem wyznaczonych punktów.
Otrzymujemy punkty: ${\mathrm{H\text{'}}}_1, {\mathrm{H\text{'}}}_2, {\mathrm{H\text{'}}}_3$. Gdzie leżą te punkty?

ReYQqYSdK795c1

Rysunek trójkąta ostrokątnego A B C. Wysokości: H z indeksem dolnym jeden, H z indeksem dolnym dwa, H z indeksem dolnym trzy, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków A, B i C przecinają się w punkcie H. Zaznaczone punkty: H prim z indeksem dolnym jeden, H prim z indeksem dolnym dwa, H prim z indeksem dolnym trzy.

Wyznaczone punkty ${\mathrm{H\text{'}}}_1, {\mathrm{H\text{'}}}_2, {\mathrm{H\text{'}}}_3$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Na rysunku zaznaczony jest trójkąt, jego ortocentrum, okrąg opisany na trójkącie i sześć punktów uzyskanych w poprzednich konstrukcjach.
Dorysowujemy punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi boków.
Gdzie leżą te punkty?

RvHwW9aQ92HWJ1

Rysunek trójkąta ostrokątnego A B C. Wysokości: H z indeksem dolnym jeden, H z indeksem dolnym dwa, H z indeksem dolnym trzy, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków A, B i C przecinają się w punkcie H. Zaznaczone punkty: H prim z indeksem dolnym jeden, H prim z indeksem dolnym dwa, H prim z indeksem dolnym trzy. Zaznaczone punkty K, L, M.

Okazuje się, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie, w środkach łuków o końcach odpowiednio ${\mathrm{H\text{'}}}_1{H}_1, {\mathrm{H\text{'}}}_2{H}_2,$ oraz ${\mathrm{H\text{'}}}_3{H}_3$.

Dwusieczną kąta trójkąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku tego kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o jednakowych miarach.

R1WVGn1nHTSy81

Rysunek trójkąta z poprowadzoną dwusieczną kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty alfa.

Narysujmy trójkąt. Skonstruujmy symetralne jego boków, dwusieczne jego kątów i okrąg opisany na tym trójkącie.
Zwróć uwagę na położenie punktu przecięcia prostej zawierającej dwusieczną kąta z symetralną boku leżącego naprzeciw tego kąta.

RolJCvRprxwGk1

Animacja ilustruje odpowiedź na pytanie: gdzie leżą punkty w których przecinają się symetralne boków trójkąta z odpowiadającymi im prostymi zawierającymi dwusieczne kątów. Dany jest trójkąt A B C i okrąg opisany na tym trójkącie. Kreślimy dwusieczne kątów i symetralne boków trójkąta A B C, które przecinają się w punktach P, Q i R.

Animacja ilustruje odpowiedź na pytanie: gdzie leżą punkty w których przecinają się symetralne boków trójkąta z odpowiadającymi im prostymi zawierającymi dwusieczne kątów. Dany jest trójkąt A B C i okrąg opisany na tym trójkącie. Kreślimy dwusieczne kątów i symetralne boków trójkąta A B C, które przecinają się w punktach P, Q i R.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dp4OWTyJp

Punkty przecięcia prostych, na których leżą dwusieczne kątów trójkąta z symetralnymi boków trójkąta leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy środkowe.

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą z środkowych tego trójkąta w stosunku $2 :1$, licząc od wierzchołka.

R19g5WgmTs4DA1

Rysunek trójkąta z poprowadzonymi trzema środkowymi a, b i c. Środkowe przecinają się w jednym punkcie.

Środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w punkcie odległym od boku o $3\mathrm{ cm}$. Obliczymy wysokość tego trójkąta.

RTSU55SVN3NYs1

Rysunek trójkąta równobocznego z poprowadzonymi dwoma środkowymi, które przecinają się w jednym punkcie. Odległość od punktu przecięcia do wierzchołka wynosi x.

W trójkącie równobocznym środkowe boków są zarazem jego wysokościami. Zatem odległość punktu przecięcia środkowych od wierzchołka jest dwa razy większa od odległości tego punktu od boku. Czyli

Wysokość h jest więc równa

Odpowiedź. Wysokość trójkąta jest równa $9\mathrm{ cm}$.

Narysujemy kilka trójkątów, niebędących trójkątami równobocznymi. Zaznaczmy w każdym z nich ortocentrum, środek okręgu opisanego i środek ciężkości.
Zaobserwuj wzajemne położenie tych trzech punktów.

RPYTCacMONj8V1

Animacja pokazuje w pięciu krokach prostą Eulera. W danym trójkącie A B C tworzymy jego trzy punkty charakterystyczne: środek okręgu opisanego na trójkącie O, środek ciężkości S i ortocentrum H trójkąta. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta zauważamy, że punkty O, S, H też zmieniają położenie, ale zawsze leżą na jednej prostej. Tę prostą nazywamy prostą Eulera. Środek ciężkości znajduje się zawsze pomiędzy środkiem okręgu opisanego na trójkącie i ortocentrum trójkąta. Obliczając iloraz długości odcinków OS i SH zauważamy, że środek ciężkości leży dwukrotnie bliżej środka okręgu opisanego niż ortocentrum.

Animacja pokazuje w pięciu krokach prostą Eulera. W danym trójkącie A B C tworzymy jego trzy punkty charakterystyczne: środek okręgu opisanego na trójkącie O, środek ciężkości S i ortocentrum H trójkąta. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta zauważamy, że punkty O, S, H też zmieniają położenie, ale zawsze leżą na jednej prostej. Tę prostą nazywamy prostą Eulera. Środek ciężkości znajduje się zawsze pomiędzy środkiem okręgu opisanego na trójkącie i ortocentrum trójkąta. Obliczając iloraz długości odcinków OS i SH zauważamy, że środek ciężkości leży dwukrotnie bliżej środka okręgu opisanego niż ortocentrum.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dp4OWTyJp

Zauważamy, że ortocentrum trójkąta, środek okręgu opisanego i środek ciężkości leżą na jednej prostej.
Własność tę odkrył w $\mathrm{XVIII}$ wieku szwajcarski matematyk Leonard Euler. Na jego cześć nazwaną tę szczególną prostą – prostą Eulera.
Leonard Euler uznawany jest za jednego z najwybitniejszych matematyków wszech czasów. Mimo utraty wzroku w wieku około $50$ lat, nadal pracował twórczo, wykorzystując swoją fenomenalną pamięć i umiejętność wykonywania obliczeń w pamięci.