Review your knowledge of trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions and the formulas to calculate the area of a triangle.
The aim of the lesson is to learn the formula for calculating the area of a triangle using the trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions.
Task 1
Analyse the material presented below on the interactive drawing and formulate the conclusion.
R1GyLW9HCTbqR
Po lewej stronie ilustracji interaktywnej rysunek trójkąta ABC, z zaznaczonym kątem alfa naprzeciwko boku BC oraz wysokością CD i kątem prostym między wysokością, a bokiem. Po prawej stronie ilustracji interaktywnej znajduje się kartka z działaniami. Numer 1 równa się jedna druga razy długość AB razy długość CD. Consider the rectangular triangle ADC. Using the definition of trigonometric functions, we have: długość CD przez długość AC równa się sin alfa. Długość CD równa się długość AC razy sin alfa. Numer 2 równa się jedna druga razy długość AB razy długość AC razy sin alfa. Na numerach widoczne są podpisy. 1. the area of the triangle ABC {audio}, 2. the area of the triangle ABC {audio}.
Po lewej stronie ilustracji interaktywnej rysunek trójkąta ABC, z zaznaczonym kątem alfa naprzeciwko boku BC oraz wysokością CD i kątem prostym między wysokością, a bokiem. Po prawej stronie ilustracji interaktywnej znajduje się kartka z działaniami. Numer 1 równa się jedna druga razy długość AB razy długość CD. Consider the rectangular triangle ADC. Using the definition of trigonometric functions, we have: długość CD przez długość AC równa się sin alfa. Długość CD równa się długość AC razy sin alfa. Numer 2 równa się jedna druga razy długość AB razy długość AC razy sin alfa. Na numerach widoczne są podpisy. 1. the area of the triangle ABC {audio}, 2. the area of the triangle ABC {audio}.
A formula for the area of a triangle using trigonometric functions
The area of the triangle is equal to the half of the product of the length of two sides of the triangle by the sine of the angle contained between these sides.
Think - Can we use the formula for calculating the area of a triangle to calculate the area of other polygons? Make hypotheses, check them and formulate a conclusion.
Conclusion:
Using the formula for the area of the triangle, you can calculate the area of a parallelogram when we know the length of its sides and the measure of the angle contained between them. The area of parallelogram equals the product of the length of the sides by the sine of the angle between them.
In an isosceles triangle with a field equal to cmIndeks górny 22, the ratio of height lowered to the base, to the base length is equal to . Calculate the angle measures and the perimeter of this triangle.
In an ABCD square with a side length of 10 cm, point E is the center of the side AD, and point F is the center of the side AB. Calculate the area and the perimeter of the EFC triangle.
One of the sides of the parallelogram has a length of 18 cm and forms with the second side an angle α such that . Calculate the perimeter of this parallelogram if its field is 72 cmIndeks górny 22.
Task 6
Calculate the area and perimeter of a rectangular trapezoidrectangular trapezoidrectangular trapezoid in which the shorter base is 6 cm long, 8 cm high, and the longer diagonal forms a 30° degree angle with the longer trapezium base.
Prove that, if the diagonals of the parallelogram have lengths c, d and they intersect at an angle , then the area of a parallelogram is given the following formula:
Do the revision exercises. Formulate conclusions to remember:
The area of the triangle is equal to the half of the product of the length of two sides of the triangle by the sine of the angle contained between these sides.
The area of a parallelogram equals the product of the length of the sides by the sine of the angle between them.
Exercises
RUtfLJniEPH3U
Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: Decide which sentence is true. Możliwe odpowiedzi: 1. The area of the triangle in which the side a has a length of 6 cm, the side b has a length of 8 cm, and the angle between them has a measure of 60°, it is equal to cm2., 2. The diagonals of a parallelogram of 20 cm and 28 cm length intersect at an angle of 60°. The field of this parallelogram equals 140 cm2.
Wersja alternatywna ćwiczenia: Decide which sentence is true. Możliwe odpowiedzi: 1. The area of the triangle in which the side a has a length of 6 cm, the side b has a length of 8 cm, and the angle between them has a measure of 60°, it is equal to cm2., 2. The diagonals of a parallelogram of 20 cm and 28 cm length intersect at an angle of 60°. The field of this parallelogram equals 140 cm2.
Decide which sentence is true.
The area of the triangle in which the side a has a length of 6 cm, the side b has a length of 8 cm, and the angle between them has a measure of 60°, it is equal to cm2.
The diagonals of a parallelogram of 20 cm and 28 cm length intersect at an angle of 60°. The field of this parallelogram equals 140 cm2.
Exercise 2
In a rectangular triangle with the area of 720 cmIndeks górny 22, the cosine of one of the angles equals . Calculate the length of the sides of this triangle.
18 cm, 80 cm, 82 cm.
Exercise 3
The two sides of the triangle are 5 cm long and 6 cm long, with the area of 7,5 cmIndeks górny 22. What measure can the angle of this triangle have between these sides?
Describe the solution to this task in English.
R11evqE0nLRo8
Exercise 4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Match Polish terms with their English equivalents. funkcje trygonometryczne Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram pole trójkąta Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram trapez prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram pole czworokąta Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram przekątne równoległoboku Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram trójkąt dowolny Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram
Wersja alternatywna ćwiczenia: Match Polish terms with their English equivalents. funkcje trygonometryczne Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram pole trójkąta Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram trapez prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram pole czworokąta Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram przekątne równoległoboku Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram trójkąt dowolny Możliwe odpowiedzi: 1. area of a triangle, 2. rectangular trapezoid, 3. trigonometric functions, 4. area of a quadrilateral, 5. any triangle, 6. diagonals of a parallelogram
Match Polish terms with their English equivalents.
rectangular trapezoid, any triangle, diagonals of a parallelogram, area of a quadrilateral, trigonometric functions, area of a triangle
funkcje trygonometryczne
pole trójkąta
trapez prostokątny
pole czworokąta
przekątne równoległoboku
trójkąt dowolny
RxNURCxwZWPhM1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
trigonometric functions
any triangle
angle between the diagonals of the parallelogram
trójkąt prostokątny
right-angled triangle
trójkąt dowolny
angle between the sides of the triangle
kąt między bokami trójkąta
kąt między przekątnymi równoległoboku
funkcje trygonometryczne
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.