Przekrojem graniastosłupa daną płaszczyzną nazwiemy część wspólną tego graniastosłupa i tej płaszczyzny. Może być ona zbiorem pustym, kiedy płaszczyzna nie dotyka graniastosłupa. Może też być jednym punktem, gdy płaszczyzna przechodzi wyłącznie przez jeden wierzchołek graniastosłupa. W pozostałych przypadkach jest wielokątem.
Warto przypomnieć, że każda płaszczyzna jest jednoznacznie wyznaczona przez trzy niewspółliniowe punktypunkty niewspółlinioweniewspółliniowe punkty lub, równoważnie, przez prostą i punkt nieleżący na tej prostej.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Definicja: Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny.
Bryła ta ma:
pięć ścian: dwie podstawy (trójkąty równoboczne) i trzy ściany boczne (prostokąty).
dziewięć krawędzi: sześć krawędzi podstaw (oznaczmy ich długość przez ) i trzy krawędzie boczne (oznaczmy ich długość przez )
sześć wierzchołków
Warto zwrócić uwagę na charakterystyczne odcinki w tym graniastosłupie:
wysokość podstawy o długości
przekątna ściany bocznej o długości
R1ZhQwhaO9n01
Przekrój graniastosłupa prawidłowego trójkątnego może być trójkątem, czworokątem lub pięciokątem. Nie może mieć więcej niż pięciu boków, ponieważ graniastosłup ma pięć ścian, a każdy bok przekroju musi leżeć na innej ścianie bryły.
Przekrój w kształcie prostokąta
Jeżeli przetniemy graniastosłup prawidłowy trójkątny płaszczyzną prostopadłą do podstawy, w przekroju otrzymamy prostokąt.
W aplecie poniżej widzisz płaszczyznę prostopadłą do dolnej i górnej podstawy prostopadłościanu. Możesz poruszać punktami i oraz obracać przestrzeń wraz z figurą, aby lepiej przyjrzeć się przekrojowi.
RL9G4QD1txm8j
Najczęściej spotykane prostokątne przekroje graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to przekroje:
zawierające wysokość w podstawie i krawędź boczną
równoległe do jednej ze ścian bocznych
Przykład 1
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości i krawędzi bocznej długości . Obliczymy obwód przekroju przechodzącego przez punkty takie, że:
leży na krawędzi i ,
leży na krawędzi i ,
leży na krawędzi i .
RUHNfJrd0elWm
Rozwiązanie
Narysujemy opisany przekrój.
R8Lo0iYpjXi0d
Jest on prostokątem, którego jeden z boków ma długość .
Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, a więc . Odcinek ma długość .
Długość odcinka obliczymy korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie :
Obwód przekroju wynosi: .
Przekrój w kształcie trójkąta
Przekrój będący trójkątem otrzymamy przecinając graniastosłup prawidłowy trójkątny:
płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i punkt leżący na przeciwległej krawędzi bocznej (w szczególnym przypadku ten punkt może być wierzchołkiem drugiej podstawy)
R1afI215ZFeg9
płaszczyzną przechodzącą przez trzy punkty leżące na różnych krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka
RS9Oc31HgMRyr
płaszczyzną przechodzącą przez trzy dowolne punkty leżące na trzech różnych krawędziach bocznych (w szczególnym przypadku otrzymujemy trywialny przykład trójkąta równoległego do podstaw albo przekrój zawierający przekątną ściany bocznej i punkt na przeciwległej krawędzi bocznej)
RHFk6lwleOAYR
Przykład 2
Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecinamy płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i punkt leżący na przeciwległej krawędzi bocznej. Otrzymany przekrój jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus wynosi . Punkt leżący na krawędzi bocznej dzieli ją w stosunku licząc od wierzchołka podstawy górnej. Wyznaczymy pole tego przekroju, jeśli długość krawędzi bocznej wynosi .
Rozwiązanie:
Narysujemy ten graniastosłup i zaznaczymy opisany przekrój.
RoUJREua5v87o
Jest on trójkątem równoramiennym.
Skoro , to i .
Odcinek ma długość:
W trójkącie : , zatem , co daje i .
Odcinek jest wysokością podstawy tego graniastosłupa, zatem: i stąd: .
Obliczamy pole trójkąta :
Przykład 3
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Obliczymy cosinus największego kąta w trójkącie wiedząc, że , , jest środkiem krawędzi oraz i .
R1cjACZou1xxh
Rozwiązanie:
Punkt jest środkiem krawędzi, a więc . oraz zatem , czyli . Analogicznie .
Prowadzimy pomocniczą prostą prostopadłą do krawędzi , przechodzącą przez punkt .
RJEFC4rX0PYVd
Punkt przecięcia tej prostej z krawędzią oznaczamy przez . Wtedy , zatem .
Ponadto .
Z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa w trójkącie obliczamy długość boku przekroju :
Analogicznie obliczamy długość odcinka .
W podobny sposób, w trójkącie obliczamy oraz
RHn6IBOHzVTjd
Przekrój jest trójkątem równoramiennym o bokach długości , , . Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku, zatem . Korzystając z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów w trójkącie otrzymujemy równanie:
Przekrój w kształcie trapezu
Przekrój będący trapezem otrzymamy przecinając graniastosłup prawidłowy trójkątny:
płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i punkt leżący na krawędzi drugiej podstawy, nierównoległej do obranej krawędzi (przekrojem będzie trapez równoramienny)
RG7t0CXCJmVmE
płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i punkt leżący na krawędzi drugiej podstawy (przekrojem będzie trapez prostokątny)
R1eOAaFAkoHUc
Przykład 4
Obliczymy długości boków przekroju graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wszystkich krawędziach długości płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy wychodzącą z wierzchołka i punkt będący środkiem krawędzi .
RmKpG9n0caTu2
Rozwiązanie:
Narysujemy opisany przekrój.
RD0QzFzdBQPaB
Odcinek jest wysokością trójkąta równobocznego o boku długości , zatem
Odcinek jest równoległy do , zatem trójkąty i są podobne. Co więcej, jest środkiem odcinka , a więc , czyli trójkąt jest podobny do trójkąta w skali . Stąd wynika, że .
Rzutując punkt prostopadle na prostą otrzymujemy punkt , który jest środkiem odcinka . Zatem . Ponadto . Z tw. Pitagorasa w trójkącie wynika, że
Analogicznie, rzutując prostopadle punkt na odcinek otrzymamy trójkąt prostokątny, w którym z tw. Pitagorasa obliczymy
Długości boków tego trapezu to , , , .
Przykład 5
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny , w którym odcinki , i są krawędziami bocznymi o długości . Na krawędziach i zaznaczono punkty i takie, że . Pole przekroju wynosi . Obliczymy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Narysujemy graniastosłup wraz z opisanym przekrojem i wprowadzimy oznaczenia
Rkrmo17lbr44I
Zauważmy, że pole przekroju , gdzie jest długością wysokości trapezu. Zatem: .
W trójkącie ; gdzie jest długością ramienia trapezu. Stąd:
RSyKzhXJl2WWq
Z twierdzenia Pitagorasa możemy również zapisać: .
Zatem:
i stąd:
i stąd:
Podstawiając równanie do równania otrzymujemy:
Podstawmy: ;
;
lub
Stąd: , zatem .
Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość .
Na koniec zauważmy, że jeżeli przetniemy graniastosłup prawidłowy trójkątny płaszczyzną przechodzącą przez dwa punkty leżące na dwóch równoległych krawędziach podstaw oraz trzeci punkt leżący na dowolnej innej krawędzi podstawy, w przekroju otrzymamy trapez:
RYm6hpZn0eHvP
lub pięciokąt:
RX6KE8m9lvKEi
Słownik
punkty niewspółliniowe
punkty niewspółliniowe
nie istnieje prosta przechodząca przez wszystkie punkty jednocześnie
twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa
jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej
twierdzenie cosinusów
twierdzenie cosinusów
w dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi