Film samouczek

Iloczyn wektora przez liczbę oraz iloczyn skalarny wektorów

Obejrzyj film samouczek, na którym pokazujemy, w jaki sposób wykonuje się mnożenie skalarne dwóch wektorów, które są zdefiniowane w układzie kartezjańskim.

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, na którym pokazujemy, w jaki sposób wykonuje się mnożenie skalarne dwóch wektorów, które są zdefiniowane w układzie kartezjańskim.

Tuż przed końcem filmu, aby ułatwić Ci przyswojenie i zapamiętanie wiadomości z części „Warto przeczytać”, realizatorzy poproszą Cię o wyznaczenie kąta między tymi wektorami. Zadanie to, w rozbiciu na dwa polecenia, zostało powtórzone pod filmem.

R2UoIoxBaZRxF

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dq3ylhghF

Polecenie 1

R1GfUQ4UyfOTN

W filmie samouczku wykonano mnożenie skalarne dwóch wektorów: $\vec{u} = [1; 3]$ i $\vec{v} = [2; 1]$ . Oblicz długości tych wektorów. Wyniki podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Odpowiedź:
$u = | \vec{u} | =$ ............ ,
$v = | \vec{v} | =$ ............ .

Długość wektora $\vec{u}=[1;3]$ , o współrzędnych $u_x=1$ i $u_y=3$ można wyznaczyć ze wzoru: $u=|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{10}\simeq 3,16$ . Zauważ, że wzór ten jest po prostu zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa do trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna pokrywa się z wektorem $\vec{u}$ . W podobny sposób można wyznaczyć długość wektora $\vec{v}$ .

Polecenie 2

RAjRL7TZ1ZzqM

Ile wynosi kąt między wektorami analizowanymi w filmie samouczku? Wartość kąta podaj w stopniach z dokładnością do liczb całkowitych.

Odpowiedź: ............ $°$ .

Przypomnijmy, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów o znanych współrzędnych jest dany wzorem $\vec{u}\cdot\vec{v}=u\cdot v\cdot\text{cos }\alpha$ , gdzie $u$ i $v$ to długości tych wektorów, zaś $\alpha$ to kąt między nimi. Przekształcając ten wzór dostajemy wartość funkcji cosinus szukanego kąta. Aby znaleźć wartość samego kąta $\alpha$ trzeba skorzystać z funkcji arcus cosinus, tzn. wyznaczoną wartość $\text{cos }\alpha$ wstawić jako argument do tej funkcji: $\text{arccos}(\cos\alpha)=\alpha$ .

$\text{cos }\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{u\cdot v}=\frac{5}{7,0336}\simeq0,7109$ .

$\text{arccos}(0,7109)=44,69^{\circ}\simeq45^{\circ}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się

Iloczyn wektora przez liczbę oraz iloczyn skalarny wektorów