Dwie półproste o wspólnym początku rozcinają płaszczyznę na dwie części. Każdą z tych części, wraz z tymi półprostymi nazywamy kątem.
Wierzchołkiem kąta nazywamy wspólny początek obu półprostych, a każdą z  półprostych nazywamy ramieniem kąta.

Zapoznaj się z poniższą animacją, która opisuje konstrukcję i budowę kąta.

R1eL9Qx42gfYG1

Co to jest kąt?

Co to jest kąt?

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1eL9Qx42gfYG

Co to jest kąt?

• Kąt, którego miara jest mniejsza od $90°$, ale większa od $0°$, nazywamy kątem ostrym.

• Kąt, którego miara jest równa $90°$, nazywamy kątem prostym.

• Kąt, którego miara jest większa od $90°$, ale mniejsza od $180°$, nazywamy kątem rozwartym.

  RXXkRDlXtrjCC1

  Rysunek trzech kątów: kąta ostrego, kąta prostego i kąta rozwartego.

  

• Kąty, których miara jest mniejsza od $180°$ lub równa $180°$ nazywamy kątami wypukłymi.

• Kąty, których miara jest większa od $180°$, ale mniejsza od $360°$, to kąty wklęsłe.

  R1EO4gfhBPYa31

  Rysunki kąta wypukłego C A B i kąta wklęsłego B A C. Zaznaczono wierzchołki w punkcie A i ramiona kątów. Kąty oznaczone odpowiednimi łukami.

  

Zapoznaj się z przykładem zawartym w poniższym aplecie

RrV2VjWHK7kqB

Na aplecie po prawej stronie zaznaczono dwie proste przecinające się w jednym punkcie tak, że przypominają iks. Zaznaczono tym samym kolorem dwa kąty leżące obok siebie. Ramiona tych kątów dopełniają się do prostej. Na jednym ramieniu kąta zaznaczono punkt P. Po lewo znajduje się miejsce na komentarz. Oto jego treść: Zaznaczona jest para kątów zwanych kątami przyległymi. Zmieniaj położenie punktu P. Obserwuj, jak zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Poruszanie wspomnianym punktem P powoduje obrót prostej o dowolny kąt. Punkt przecięcia prostych, a zarazem wierzchołek czterech kątów nie zmienia swojego położenia. Poruszanie prostą powoduje zmianę rozwartości zaznaczanych kątów. W części na komentarz znajduje się okienko do zaznaczenia z treścią obok: Sprawdź swoje przypuszczenia dla innej pary kątów przyległych. Po kliknięciu zaznaczona zostaje inna para kątów przyległych.

Na aplecie po prawej stronie zaznaczono dwie proste przecinające się w jednym punkcie tak, że przypominają iks. Zaznaczono tym samym kolorem dwa kąty leżące obok siebie. Ramiona tych kątów dopełniają się do prostej. Na jednym ramieniu kąta zaznaczono punkt P. Po lewo znajduje się miejsce na komentarz. Oto jego treść: Zaznaczona jest para kątów zwanych kątami przyległymi. Zmieniaj położenie punktu P. Obserwuj, jak zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Poruszanie wspomnianym punktem P powoduje obrót prostej o dowolny kąt. Punkt przecięcia prostych, a zarazem wierzchołek czterech kątów nie zmienia swojego położenia. Poruszanie prostą powoduje zmianę rozwartości zaznaczanych kątów. W części na komentarz znajduje się okienko do zaznaczenia z treścią obok: Sprawdź swoje przypuszczenia dla innej pary kątów przyległych. Po kliknięciu zaznaczona zostaje inna para kątów przyległych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DqIN54whO

• Kąty przyległe to dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

• Kąty wierzchołkowe to dwa kąty wypukłe, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

  R5pEX3r0V622H1

  Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone dwie pary kątów wierzchołkowych: alfa i beta oraz delta i gamma.

  

  Na przykład $\alpha$ i $\gamma$ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to $\alpha$ i $\beta$ oraz $\gamma$ i $\delta$.

Suma miar kątów przyległych jest równa $180°$.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Dowód:

Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że

oraz

Stąd $\alpha =\beta$. Wynika stąd, że kąty wierzchołkowe są równe.

Obliczmy miary kątów $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ zaznaczonych na rysunku.

R1dqS1kJFKuG61

Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone pary kątów wierzchołkowych: beta i 47 stopni oraz alfa i gamma.

Kąty o miarach $47°$ i $\beta$ to kąty wierzchołkowe, więc $\beta =47°$. Każdy z kątów $\alpha$ i $\gamma$ jest przyległy do kąta o mierze $47°$. Zatem

Wyznaczymy miary kątów równoległoboku $ABCD$.

RFKPSdvpBF76U1

Rysunek równoległoboku A B C D. W wierzchołku A, przedłużając boki równoległoboku, zaznaczono kąt E A F o mierze 60 stopni. Kąt E A F jest kątem wierzchołkowym do kąta D A B równoległoboku.

Rozwiązanie:

Kąty $EAF$ i $DAB$ to kąty wierzchołkowe, mają więc równe miary.

Suma kątów równoległoboku leżących przy jednym boku jest równa $180°$.
Kąty $DAB$ i $ABC$ leżą przy jednym boku.

W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary.
Kąt $BCD$ leży naprzeciw kąta $DAB$, kąty te mają więc równe miary.

Podobnie kąt $ADC$ leży naprzeciw kąta $ABC$, kąty te mają równe miary.

Odpowiedź: Miary kątów równoległoboku są równe: $60°$, $60°$, $120°$, $120°$.

Zapoznaj się z animacją, pokazującą porównywanie kątów.

R9ncwkBcQcxZS1

Animacja o porównywaniu kątów.

Animacja o porównywaniu kątów.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R9ncwkBcQcxZS

Animacja o porównywaniu kątów.