$B=-\sqrt{10}<-\sqrt{9}=-3=\sqrt[3]{-27}=A$, zatem $A>B$

$\sqrt{a}=\sqrt{289·5}-\sqrt{4·5}-\sqrt{9·5}=17\sqrt{5}-2\sqrt{5}-3\sqrt{5}=12\sqrt{5}$, skąd $a={\left(12\sqrt{5}\right)}^2=144·5=720$.

Przekształcamy zadaną nierówność równoważnie (jej obie strony są dodatnie)

$\sqrt{2^{30}\left(2^2-1\right)}+\sqrt{2^{30}\left(2^2+1\right)}>\sqrt{2^{30}\left(2^3+1\right)}$

$2^{15}\sqrt{3}+2^{15}\sqrt{5}>2^{15}·3$

$\sqrt{3}+\sqrt{5}>3$

Ponieważ $1,{73}^2=2,9929<3$ oraz $2,{23}^2=4.9729<5$, więc

$\sqrt{3}+\sqrt{5}>1,73+2,23=3,96>3$.

W ten sposób dowód został zakończony.

Uwaga!

Dowód nierówności

$\sqrt{3}+\sqrt{5}>3$

można było dokończyć też np. na jeden z dwóch poniższych sposobów:

• obliczając na kalkulatorze rozwinięcia dziesiętne pierwiastków $\sqrt{3}=1,73205\dots$, $\sqrt{5}=2,23606\dots$, skąd $\sqrt{3}+\sqrt{5}=3,9681\dots >3$,

• porównując kwadraty liczb zapisanych po lewej i po prawej stronie nierówności

${\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2={\sqrt{3}}^2+2·\sqrt{3}·\sqrt{5}+{\sqrt{5}}^2=8+2\sqrt{15}=8+\sqrt{4·15}=8+\sqrt{60}$

$3^2=9=8+1<8+\sqrt{60}={\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2$

W drugim z tych sposobów skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

Przekształcamy zadaną nierówność równoważnie (jej obie strony są dodatnie)

$\sqrt{2^{1492}\left(2^{530}-1\right)}+\sqrt{2^{1492}\left(2^{530}+1\right)}<2^{1012}$

$2^{746}\sqrt{2^{530}-1}+2^{746}\sqrt{2^{530}+1}<2^{746}·2^{266}$

$\sqrt{2^{530}-1}+\sqrt{2^{530}+1}<2^{266}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy równoważnie

${\left(\sqrt{2^{530}-1}+\sqrt{2^{530}+1}\right)}^2<{\left(2^{266}\right)}^2$

$2^{530}-1+2·\sqrt{2^{530}-1}·\sqrt{2^{530}+1}+2^{530}+1<2^{532}$

$2·\sqrt{2^{530}-1}·\sqrt{2^{530}+1}<2^{532}-2·2^{530}$

$2·\sqrt{\left(2^{530}-1\right)·\left(2^{530}+1\right)}<2^{531}·\left(2-1\right)$

$2·\sqrt{2^{1060}-1}<2^{531}$

$\sqrt{2^{1060}-1}<2^{530}$

Ponieważ $2^{530}=\sqrt{2^{1060}}>\sqrt{2^{1060}-1}$, więc otrzymana nierówność jest prawdziwa.

W ten sposób dowód został zakończony.