after cutting the rectanglerectanglerectangle along one of its diagonals we get two identical right‑angled triangles,
the area of each of these triangles equals half of the areaareaarea of the rectanglerectanglerectangle,
and come up with the conclusion:
The areaareaarea of the right‑angled triangleright‑angled triangleright‑angled triangle equals half the productproduct product of the length of its legs.
RIgaCHpCSHzFc1
Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczony kąt prosty. Zapis: P równa się ułamek, w liczniku a razy b, w mianowniku 2.
Using the presented formulaformulaformula calculate the areaareaarea of the right‑angled triangleright‑angled triangleright‑angled triangle on your own, knowing the length of its legs. Calculate the area of the right‑angled triangleright‑angled triangleright‑angled triangle whose legs are 9 cm and 12 cm.
Then, you become familiar with the formulaformulaformula for calculating the areaareaarea of any triangletriangle triangle.
Open the applet. Work individually using your computer. You are going to observe how the formulaformulaformula for the areaareaarea of the triangletriangle triangle can be illustrated.
R19NDBDSGd8mv1
Geogebra aplet - symulacja pokazuje, że pole trójkąta jest równe polu prostokąta, którego jeden z boków jest równy połowie wysokości trójkąta, a drugi jest równy podstawie tego trójkąta. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.
Geogebra aplet - symulacja pokazuje, że pole trójkąta jest równe polu prostokąta, którego jeden z boków jest równy połowie wysokości trójkąta, a drugi jest równy podstawie tego trójkąta. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.
Ilustracja przedstawia trójkąt N O C o wysokości h i podstawie a. W połowie wysokości trójkąt został podzielony na trapez na dole i mniejszy trójkąt na górze. Mniejszy trójkąt został podzielony na dwa trójkąty prostokątne wzdłuż wysokości h trójkąta.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RfK98cwGOY8u51
Ilustracja przedstawia trójkąt N O C o wysokości h i podstawie a. W połowie wysokości trójkąt został podzielony na trapez na dole i mniejszy trójkąt na górze. Dwa trójkąty powstałe z podziału mniejszego trójkąta obrócone są na zewnątrz wokół wierzchołków znajdujących się na boku trójkąta głównego.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1eaB3UmkIOmS1
Ilustracja przedstawia trójkąt N O C o wysokości h i podstawie a. W połowie wysokości trójkąt został podzielony na trapez na dole i mniejszy trójkąt na górze. Dwa trójkąty powstałe z podziału mniejszego trójkąta znajdują się przy podstawie trójkąta głównego tworząc z dolnym trapezem prostokąt o podstawie równej podstawie a trójkąta głównego oraz wysokości równej połowie wysokości trójkąta głównego.
The areaareaarea of the triangle equals half the productproduct product of its base and the altitudealtitudealtitude drawn to this base. The side of the triangle which the altitudealtitudealtitude is drawn to it is called the base of the triangle.
RWpUw6ExCS1Ru1
Rysunek trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na bok a, zaznaczono kąt prosty między wysokością a bokiem a. Zapis: P równa się ułamek, w liczniku a razy h, w mianowniku 2.
Using the written formulaformulaformula calculate the areaareaarea of the triangletriangle triangle on your own, knowing the length of the bases and the altitudealtitudealtitude.
Calculate the areaareaarea of the triangletriangle triangle on the basis of the following data:
a) the triangletriangle triangle base is 11 cm and the altitudealtitudealtitude drawn to it is 6 cm, b) one of the altitudes of the triangletriangle triangle is 24 dm and the side that is perpendicular to it is 3 times shorter.
Calculate the altitudealtitudealtitude of the triangletriangle triangle drawn to the base of 15 cm knowing that the areaareaarea of this triangle is 52,5 cm.
Exercises
Exercise 1
Ry9EgXRM7wXYG1
Ilustracja przedstawia trójkąt ostrokątny narysowany na papierze w kratkę. Podstawa trójkąta to 7 kratek, wysokość trójkąta to 5 kratek. Górny wierzchołek przesunięty o 2 kratki w prawo od dolnego lewego wierzchołka.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R8FxOphlD9mle
Wersja alternatywna ćwiczenia: How large is the area of the triangle presented above? Możliwe odpowiedzi: 1. 15, 2. 16, 3. 17,5, 4. 14,5
Wersja alternatywna ćwiczenia: How large is the area of the triangle presented above? Możliwe odpowiedzi: 1. 15, 2. 16, 3. 17,5, 4. 14,5
How large is the area of the triangle presented above?
15
16
17,5
14,5
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
The drawing below presents a kite which was made by Adam. He made it of tissue paper in his DIY classes. Calculate how much tissue paper he used to make every coloured triangle. How much tissue paper did he use to make the whole kite?
RNp43cINpWtcL1
Ilustracja przedstawia latawiec w kształcie deltoidu podzielonego przekątnymi na cztery trójkąty. Połowa krótszej przekątnej jest równa 25 centymetrów, dłuższa przekątna podzielona na odcinki długości 35 centymetrów i 45 centymetrów.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
The area of smaller triangles:
The area of larger triangles:
The area of the kite:
Exercise 3
Describe the formula for the area of the triangle and justify it in English.
R1VsV1JGlfR5M
Exercise 4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. pole - area, 2. wysokość - altitude, 3. przyprostokątna - leg, 4. prostokąt - rectangle, 5. przyprostokątna - diagonal, 6. przekątna - leg
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. pole - area, 2. wysokość - altitude, 3. przyprostokątna - leg, 4. prostokąt - rectangle, 5. przyprostokątna - diagonal, 6. przekątna - leg
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
pole - area
wysokość - altitude
przyprostokątna - leg
prostokąt - rectangle
przyprostokątna - diagonal
przekątna - leg
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RZC7yXVczW7Qx1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
triangle
trójkąt
podstawa trójkąta
pole
altitude
base of triangle
area
wysokość
trójkąt prostokątny
right-angled triangle
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Glossary
altitude
altitude
wysokość - odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) pod kątem prostym
