Bryła ta ma:

• pięć ścian: dwie podstawy (trójkąty równoboczne) i trzy ściany boczne (prostokąty),

• dziewięć krawędzi: sześć krawędzi podstaw (oznaczmy ich długość przez $a$) i trzy krawędzie boczne (oznaczmy ich długość przez $h$),

• sześć wierzchołków.

Warto zwrócić uwagę na charakterystyczne odcinki w tym graniastosłupie:

• wysokość podstawy, o długości $h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$,

• przekątna ściany bocznej, o długości $d=\sqrt{a^2+h^2}$.

RSw3WZTbNlyUv

Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. W graniastosłupie zaznaczono krawędź podstawy AC i podpisano ją literą a. W graniastosłupie zaznaczono krawędź boczną A $A\text{'}$ i podpisano ją literą h. Przekątną ściany bocznej B $C\text{'}$ podpisano literą d. W dolnej podstawie z wierzchołka C na krawędź AB linią przerywaną opuszczono wysokość i podpisano ją $h_p$. Aplet daje możliwość obrotu graniastosłupem.

Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. W graniastosłupie zaznaczono krawędź podstawy AC i podpisano ją literą a. W graniastosłupie zaznaczono krawędź boczną A $A\text{'}$ i podpisano ją literą h. Przekątną ściany bocznej B $C\text{'}$ podpisano literą d. W dolnej podstawie z wierzchołka C na krawędź AB linią przerywaną opuszczono wysokość i podpisano ją $h_p$. Aplet daje możliwość obrotu graniastosłupem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Duubj2VqB

R1NxRbY8R1YmE

Ilustracja pierwsza przedstawia płaszczyznę $\mathrm{\pi }$ przez, którą przechodzi prosta m. Prosta m przecina płaszczyznę w punkcie A. Na ilustracji drugiej pojawia się prosta k, która jest prostopadła do płaszczyzny $\mathrm{\pi }$ i ma punkt wspólny z prostą m, który podpisano literą B. Na trzeciej ilustracji zrzutowano punkt B na płaszczyznę $\mathrm{\pi }$, zrzutowany punkt podpisano $\mathrm{B}\text{'}$. Punkty A B i  $\mathrm{B}\text{'}$ tworzą trójkąt prostokątny. Gdzie A $\mathrm{B}\text{'}$ B to kąt prosty. Na czwartej ilustracji przez punkty A i $\mathrm{B}\text{'}$ poprowadzono prostą, podpisano ją $\mathrm{m}\text{'}$. Prosta ta należy do płaszczyzny $\mathrm{\pi }$. Na piątej ilustracji zaznaczono kąt pomiędzy prostą m i $\mathrm{B}\text{'}$ i podpisano go literą alfa.

Ilustracja pierwsza przedstawia płaszczyznę $\mathrm{\pi }$ przez, którą przechodzi prosta m. Prosta m przecina płaszczyznę w punkcie A. Na ilustracji drugiej pojawia się prosta k, która jest prostopadła do płaszczyzny $\mathrm{\pi }$ i ma punkt wspólny z prostą m, który podpisano literą B. Na trzeciej ilustracji zrzutowano punkt B na płaszczyznę $\mathrm{\pi }$, zrzutowany punkt podpisano $\mathrm{B}\text{'}$. Punkty A B i  $\mathrm{B}\text{'}$ tworzą trójkąt prostokątny. Gdzie A $\mathrm{B}\text{'}$ B to kąt prosty. Na czwartej ilustracji przez punkty A i $\mathrm{B}\text{'}$ poprowadzono prostą, podpisano ją $\mathrm{m}\text{'}$. Prosta ta należy do płaszczyzny $\mathrm{\pi }$. Na piątej ilustracji zaznaczono kąt pomiędzy prostą m i $\mathrm{B}\text{'}$ i podpisano go literą alfa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Duubj2VqB

Chcąc wyznaczyć kąt pomiędzy prostą $m$ a płaszczyzną $\pi$ wyznaczamy rzut prostokątny prostej $m$ na płaszczyznę $\pi$. Poniższe kroki możesz uzyskać nawigując strzałkami od kroku 1 do 5.

1. Wyznaczamy punkt wspólny prostej i płaszczyzny (w aplecie punkt $A$).

2. Z dowolnego wybranego punktu na prostej $m$ (w aplecie punkt $B$) prowadzimy prostą $k$ prostopadłą do płaszczyzny $\pi$.

3. Wyznaczamy punkt wspólny prostej $k$ i płaszczyzny $\pi$ (w aplecie punkt $B\text{'}$).

4. Prowadzimy prostą przez punkty $A$ i $B\text{'}$, która leży na płaszczyźnie (w aplecie to prosta $m\text{'}$). Jest ona rzutem prostokątnym prostej $m$ na płaszczyznę $\pi$.

5. Kąt ostry pomiędzy prostymi $m$ i $m\text{'}$ jest kątem pomiędzy prostą $m$ a płaszczyzną $\pi$.

Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

Jest to kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy leżącą na tej samej ścianie. Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym $ACA\text{'}$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

R1E8LzohTtHEG

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. Dolna postawa należy do płaszczyzny zaznaczonej do ilustracji. W graniastosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny A C $A\text{'}$, którego przyprostokątne to krawędź boczna A $A\text{'}$ o długości h, oraz krawędź podstawy AC o długości a. przeciwprostokątną w tym trójkącie jest przekątna ściany bocznej $A\text{'}$ C, którą podpisano liter d. Kąt A C $A\text{'}$ podpisano literą alfa.

Przykład 1

Wyznaczymy przybliżoną miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego do płaszczyzny podstawy wiedząc, że wysokość podstawy ma długość $7\sqrt{3}$, a krawędź boczna ma długość $20$.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym otrzymujemy

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}$

stąd

$a=\frac{7\sqrt{3}·2}{\sqrt{3}}=14$

Obliczamy tangens szukanego kąta

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{20}{14}\approx 1,4286$

Korzystając z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych, odczytujemy

R10B8OUrFaQmG

Ilustracja przedstawia tabelę składającą się z czterech kolumn i dziewięciu wierszy. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza zapisano: $\alpha \left[°\right]$, w drugiej kolumnie tego wiersza mamy zapis: $\sin \left(\alpha \right)$, $\cos \left(\beta \right)$, w trzeciej kolumnie: $\tan \left(\alpha \right)$ i w ostatniej kolumnie znajduje się $\beta \left[°\right]$. W pierwszej kolumnie w kolejnych wierszach znajdują się następujące wartości kąta alfa: 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, w drugiej kolumnie w kolejnych wierszach znajdują się następujące wartości sinusów kąta alfa i cosinusów kąta beta: 0,7880, 0,7986, 0,8090, 0,8192, 0,8290, 0,8387, 0,8480, 0,8572, w trzeciej kolumnie w kolejnych wierszach znajdują się następujące wartości tangensa alfa: 1,2799, 1,3270, 1,3764, 1,4826, 1,5399, 1,6003, 1,6643, w ostatniej kolumnie mamy następujące wartości kąta beta: 38, 37, 36, 35, 34, 33, 32 oraz trzydzieści jeden. W tabeli okręgiem zaznaczono zapis $\alpha \left[°\right]$ oraz wartość tego kąta równą 55, również zapis $\tan \left(\alpha \right)$ zaznaczono okręgiem, a jego wartość odpowiadająca kątowi alfa równemu 55 stopni wynosi jeden przecinek cztery tysiące dwieście osiemdziesiąt jeden dziesięciotysięcznych.

$\alpha \approx 55°$

Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej

Spójrzmy na poniższy aplet (możesz obracać bryłę). Rzutem prostokątnym przekątnej $BC\text{'}$ na ścianę $ACC\text{'}A\text{'}$ jest odcinek $DC\text{'}$. Kąt nachylenia przekątnej $BC\text{'}$ do płaszczyzny ściany $ACC\text{'}A\text{'}$ to kąt pomiędzy przekątną $BC\text{'}$ a odcinkiem $DC\text{'}$. Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym $BDC\text{'}$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

gdzie

RaxwYJ8ZajwMk

Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. W graniastosłupie zaznaczono krawędzie podstawy podpisano literą a, a krawędzie boczne podpisano literą h. W graniastosłupie linią przerywaną zaznaczono przekątną ściany bocznej B $C\text{'}$ i podpisano literą d . W graniastosłupie linią przerywaną zaznaczono również wysokość podstawy A B C opuszczoną z wierzchołka B na krawędź AC, wysokość tą podpisano $h_p$. Spodek tej wysokości podpisano literą D. Z wierzchołka $C\text{'}$ do punktu D linią przerywaną poprowadzono odcinek i podpisano go literą x. Wierzchołki B D $C\text{'}$ tworzą trójkąt, w którym kąt BD $C\text{'}$ to kąt prosty, a kąt B $C\text{'}$ D zaznaczono kolorem zielonym. Ściana A C $A\text{'}$ $C\text{'}$należy do płaszczyzny, którą zaznaczono na rysunku. Aplet daje możliwość obrotu graniastosłupem.

Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. W graniastosłupie zaznaczono krawędzie podstawy podpisano literą a, a krawędzie boczne podpisano literą h. W graniastosłupie linią przerywaną zaznaczono przekątną ściany bocznej B $C\text{'}$ i podpisano literą d . W graniastosłupie linią przerywaną zaznaczono również wysokość podstawy A B C opuszczoną z wierzchołka B na krawędź AC, wysokość tą podpisano $h_p$. Spodek tej wysokości podpisano literą D. Z wierzchołka $C\text{'}$ do punktu D linią przerywaną poprowadzono odcinek i podpisano go literą x. Wierzchołki B D $C\text{'}$ tworzą trójkąt, w którym kąt BD $C\text{'}$ to kąt prosty, a kąt B $C\text{'}$ D zaznaczono kolorem zielonym. Ściana A C $A\text{'}$ $C\text{'}$należy do płaszczyzny, którą zaznaczono na rysunku. Aplet daje możliwość obrotu graniastosłupem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Duubj2VqB

Przykład 2

Tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wynosi $\frac{1}{2}$, a długość krawędzi podstawy to $6$. Obliczymy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

R18iBU3NHhusQ

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. W graniastosłupie zaznaczono krawędzie podstawy podpisano literą a, a krawędzie boczne podpisano literą h. W graniastosłupie linią przerywaną zaznaczono przekątną ściany bocznej B $C\text{'}$ i podpisano literą d . W graniastosłupie linią przerywaną zaznaczono również wysokość podstawy A B C opuszczoną z wierzchołka B na krawędź AC, wysokość tą podpisano $h_p$. Spodek tej wysokości podpisano literą D. Z wierzchołka $C\text{'}$ do punktu D linią przerywaną poprowadzono odcinek i podpisano go literą x. Wierzchołki B D $C\text{'}$ tworzą trójkąt, w którym kąt BD $C\text{'}$ to kąt prosty, a kąt B $C\text{'}$ D zaznaczono kolorem zielonym. Ściana A C $A\text{'}$ $C\text{'}$należy do płaszczyzny, którą zaznaczono na rysunku.

Obliczamy długość wysokości w trójkącie równobocznym

$h_p=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

Wiemy, że

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{h_p}{x}$

$\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{x}$

$x=6\sqrt{3}$

Z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DCC\text{'}$ otrzymujemy:

${\left|CD\right|}^2+{\left|CC\text{'}\right|}^2={\left|DC\text{'}\right|}^2$

$3^3+h^2={\left(6\sqrt{3}\right)}^2$

$h=\sqrt{108-9}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$

Kąt nachylenia prostej $DC\text{'}$ do płaszczyzny podstawy

Jest to kąt pomiędzy odcinkiem $DC\text{'}$ a jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy, czyli wysokością $CD$. Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym $CDC\text{'}$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

Rzar1Qcrfrf60

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. Podstawa A B C leży w płaszczyźnie zaznaczonej na rysunku. W podstawie A B C linią przerywaną zaznaczono wysokość $h_p$ opuszczoną z wierzchołka C na podstawę AB, spodek tej wysokości podpisano literą D. Przez wierzchołek $C\text{'}$ i punkt D linią przerywaną poprowadzono prostą. Fragment prostej należący do ostrosłupa podpisano literą p. Kąt CD $C\text{'}$ podpisano literą alfa. Wierzchołki C D $C\text{'}$ tworzą trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątnymi są krawędź boczna graniastosłupa h i wysokość podstawy $h_p$, a przeciwprostokątną jest odcinek p.

Kąt nachylenia prostej $DC\text{'}$ do płaszczyzny ściany bocznej niezawierającej wierzchołka $C\text{'}$

Jest to kąt pomiędzy odcinkiem $DC\text{'}$ a jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę ściany bocznej $AA\text{'}B\text{'}B$, czyli odcinkiem $DD\text{'}$. Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym $C\text{'}DD\text{'}$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

R2RYo6cugUP5q

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. Ściana boczna A B B' $C\text{'}$ leży w płaszczyźnie zaznaczonej na rysunku. Krawędź podstawy ma długość a.W podstawie $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$ linią przerywaną zaznaczono wysokość $h_p$ opuszczoną z wierzchołka $C\text{'}$ na podstawę $A\text{'}$ $B\text{'}$, spodek tej wysokości podpisano literą $D\text{'}$. Na krawędzi AB pod punktem $D\text{'}$ zaznaczono punkt D. Odcinek D  $D\text{'}$ jest pod kątem prostym do krawędzi AB i podpisano go literą h. Przez wierzchołek $C\text{'}$ i punkt D linią przerywaną poprowadzono prostą. Fragment prostej należący do ostrosłupa podpisano literą p. Kąt $C\text{'}$D$D\text{'}$ podpisano literą beta. Wierzchołki $C\text{'}$ D $C\text{'}$ tworzą trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątnymi są krawędź boczna graniastosłupa h i wysokość podstawy $h_p$, a przeciwprostokątną jest odcinek p.

Zauważmy, że suma kątów ($\alpha$ i $\beta$) wynosi $90°$.

Przykład 3

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym punkt $D$ jest środkiem krawędzi $AB$. Kąt nachylenia prostej $C\text{'}D$ do płaszczyzny ściany $AA\text{'}B\text{'}B$ ma miarę $60°$. Suma długości wszystkich krawędzi wynosi $45$. Obliczymy długość krawędź podstawy tego graniastosłupa.

RJy3LufBwkBTV

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. Z wierzchołka C na krawędź AB opuszczono wysokość, spodek wysokości podpisano litrą D. Przez wierzchołek $C\text{'}$ i punkt D linią przerywaną poprowadzono prostą.

Rozwiązanie

Przez $a$ oznaczmy długość krawędzi podstawy, a przez $h$ krawędzi bocznej.

R1VRyBuzhlkwY

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$. Krawędź podstawy ma długość a. Z wierzchołka C na krawędź AB opuszczono wysokość, spodek wysokości podpisano litrą D. Przez wierzchołek $C\text{'}$ i punkt D linią przerywaną poprowadzono prostą. Punkty D $C\text{'}$ oraz $D\text{'}$ tworzą trójkąt prostokątny, gdzie kąt $C\text{'}$$D\text{'}$D to kąt prosty a kąt $C\text{'}$D$D\text{'}$ ma wartość 60 stopni. Odcinek D $D\text{'}$ podpisano literą h.

Odcinek $C\text{'}D\text{'}$ jest wysokością trójkąta równobocznego, a więc jego długość wyrażona jest wzorem

$\left|C\text{'}D\text{'}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

W trójkącie prostokątnym $DD\text{'}C\text{'}$ zachodzi zależność

$\mathrm{tg}60°=\frac{\left|C\text{'}D\text{'}\right|}{h}$

$\sqrt{3}=\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{h}$

$\sqrt{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$h=\frac{a}{2}$

Jednocześnie, w treści zadania mamy informację o sumie długości wszystkich krawędzi:

$6a+3h=45$

$6a+3·\frac{a}{2}=45$

$\frac{15}{2}a=45$

$a=6$

Słownik