Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

R1WKk9Nh9TZcH1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Pomnóżmy sumę algebraiczną $3 x - 2 y + 5$ przez liczbę $- 2 .$

- 2 ∙ (3 x - 2 y + 5) = - 2 · 3 x - (- 2) ∙ 2 y + (- 2) · 5 = - 6 x + 4 y - 10

Pomnóżmy teraz tę samą sumę przez jednomian $7 x .$

7 x ∙ (3 x - 2 y + 5) = 7 x ∙ 3 x - 7 x ∙ 2 y + 7 x ∙ 5 = 21 x^{2} - 14 x y + 35 x

Przykład 2

R3kfBtGTGWAWX1

Przykład 3

Wykorzystując wiadomości dotyczące dodawania, odejmowania i mnożenia przez jednomian sum algebraicznych, możemy wykonywać działania na sumach algebraicznych. W przypadku wyrażeń algebraicznych obowiązuje taka sama kolejność wykonywania działań, jak dla wyrażeń arytmetycznych.
Zapisujemy w najprostszej postaci:

4 x (5 y - 2) - 7 y (3 x - 4) + 5 (xy - 2 x + 8 y + 3)

W pierwszej kolejności wykonujemy mnożenie

4 x (5 y - 2) - 7 y (3 x - 4) + 5 (x y - 2 x + 8 y + 3) =

= 4 x ∙ 5 y - 4 x ∙ 2 - 7 y ∙ 3 x + 7 y ∙ 4 + 5 ∙ x y - 5 ∙ 2 x + 5 ∙ 8 y + 5 · 3 =

= 20 x y - 8 x - 21 x y + 28 y + 5 x y - 10 x + 40 y + 15 =

W ostatnim etapie wykonana została redukcja wyrazów podobnych.

= 4 x y - 18 x + 68 y + 15

Ćwiczenie 1

Pomnóż jednomian przez sumę algebraiczną.

$5 (- 3 x + 12 y - 4)$
$- {20 x}^{2} (5 x + 2 y - 7 z)$
$- 2 a (- \frac{1}{2} + 3 a)$
$6 x y (- 2 x + 4 y - 7)$
$m (- 4 m + 3 n - 2)$
$\frac{2}{3} (6 a - 12 b + 9)$
$(- 5 x + 7 y - 2 z) · (- 2)$
$a b (- 10 a + 20 b - 35)$

$- 15 x + 60 y - 20$
${- 100 x}^{3} - {40 x}^{2} y + {140 x}^{2} z$
$a - {6 a}^{2}$
${- 12 x}^{2} y + {24 x y}^{2} - 42 x y$
${- 4 m}^{2} + 3 m n - 2 m$
$4 a - 8 b + 6$
$10 x - 14 y + 4 z$
${- 10 a}^{2} b + {20 a b}^{2} - 35 a b$

Ćwiczenie 2

Podziel sumę algebraiczną przez liczbę.

$\frac{10 a + 15 b - 35}{5}$
$(- 8 x y + 12 z) : (- 4)$
$({- 6 m}^{2} + 9 m n - 15) : \frac{1}{3}$
$\frac{- 18 a b + 9 a - 27 b}{- 3}$
$({- 2 x}^{2} - 5 x + 4 x y - 3 y) : (- \frac{1}{2})$
$\frac{25 a - 15 b + 10 c}{- \frac{2}{3}}$

$2 a + 3 b - 7$
$2 x y - 3 z$
${- 18 m}^{2} + 27 m n - 45$
$6 a b - 3 a + 9 b$
${4 x}^{2} + 10 x - 8 x y + 6 y$
$- 37,5 a + 22,5 b - 15$

Ćwiczenie 3

R5otda3INloRF1

Przeciągnij i upuść.

$15$ , $6$ , $27$ , $- 12$ , $30$ , $k^{3}$ , $4 \frac{1}{2}$ , $1,4$ , $k^{2}$ , $x^{2}$ , $- 2$ , $1,6$ , $a b^{2}$ , $- 7,5$ , $a^{2} b^{2}$ , $x^{2} y$ , $7,5$ , $11,25$ , $x$ , $a^{2} b$ , $k^{3} l$

a) $3 a b (- 4 a + 5 b - 9) =$ .......................... $a^{2} b +$ .......................... $a b^{2} -$ .......................... $a b$
b) $1, 5 x (- 5 x y + 20 x^{2} - 7, 5 y) =$ .......................... $x^{2} y +$ .......................... $x^{3} -$ .......................... $x y$
c) $- 1 \frac{1}{2} (- 3 x + 5 y - 4) =$ .......................... $x -$ .......................... $y +$ ..........................
d) $- 0, 4 (5 x - 3, 5 y^{2} + 4) =$ .......................... $x +$ .......................... $y^{2} -$ ..........................
e) $- 8 x (5 x - 4 x y + 15) = - 40$ .......................... $+ 32$ .......................... $- 120$ ..........................
f) $2, 5 a b (- 3 a + 10 b - 12 a b) = - 7, 5$ .......................... $+ 25$ .......................... $- 30$ ..........................
g) $- 0, 6 k^{2} (- 5 k + k l - 10) = 3$ .......................... $- 0, 6$ .......................... $+ 6$ ..........................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RLgfVfwCEMlMQ1

Przeciągnij i upuść.

$- 5$ , $2,5 x y$ , $4 y$ , $10 x y$ , $16 x^{2} y^{2}$ , $3 x y$ , $16 x y^{2}$ , $- 4 y$ , $- 36 x^{2} y^{2}$ , $20 x y$

a) $5 x (2 y +$ .............................................................. $) =$ .............................................................. $+ 15 x^{2} y$
b) $- 8 x y ($ .............................................................. $- 2 y) = 40 x y +$ ..............................................................
c) $4 x y^{2} (- 9 x +$ .............................................................. $) =$ .............................................................. $+ 16 x y^{3}$
d) $- 10 y (- 2 x -$ .............................................................. $) =$ .............................................................. $+ 25 x y^{2}$
e) ${2 x}^{2} ($ .............................................................. $- 8 y^{2}) = - 8 x^{2} y -$ ..............................................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1cXDz5mMz3Cg1

Połącz w pary.

$- 3 (2 x - 7 y)$
$4 x (x + 5)$
$4 (x + 5)$
$2 y (7 x - 4)$
$4 x y (x - 5)$
$\frac{6 x - 15 y}{3}$
$(8 x y - 4) : 2$
$(- 12 x + 4 y) : 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Wykonaj działania, a następnie połącz dane wyrażenie z uzyskanym wynikiem.

$3 x (- x y + 4) + 2 y (x^{2} - 7 x + 4) + (- 5 x^{2} y + 7 x)$
$k (- k l^{2} + 8 k l) - 4 k^{2} (l^{2} - 5 l) - (2 k^{2} l^{2} - 9)$
$- 3 x y (2 x - 5 y + 8) - 4 y (x^{2} - 2 x y + 1)$
$8 k l (- 2 k + 4 l + 3) - 2 l (8 k^{2} - 6 k l + 4)$
$2 x y^{2} (- 4 x + 2) - 3 x y (6 x - 8) + 5 x^{2} (- 2 y + 7)$
$- 8 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} - 28 x^{2} y + 24 x y + 35 x^{2}$
$- 32 k^{2} l + 4 k l^{2} + 24 k l - l$
$- 6 x^{2} y + 19 x + 8 y - 14 x y$
$- 7 k^{2} l^{2} + 28 k^{2} l + 9$
$- 10 x^{2} y + 23 x y^{2} - 24 x y - 4 y$

Ćwiczenie 7

Zapisz bez użycia nawiasów, zredukuj wyrazy podobne i oblicz wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.

$4 (a + 3 b) + 2 (a - 4 b),$ dla $a = 0,5$ i $b = - 3$
$- 2 (x^{2} + y) - 3 (4 y - 2 x^{2}),$ dla $x = - 2$ i $y = - 4$
$5 (x + 2 y - 3 z) - 4 (- 3 x + 4 y - z),$ dla $x = - 1$ , $y = - 3$ i $z = 4,5$
$- 3 (x y - 2 z) + 4 (- 3 x y + 5 z - 3),$ dla $x = - 2$ , $y = 3$ i $z = 2$

$6 a + 4 b = - 9$
$4 x^{2} - 14 y = 72$
$17 x - 6 y - 11 z = - 48,5$
$- 15 x y + 26 z - 12 = 130$

iu26NS6CfM_d5e441

Ćwiczenie 8

R7voqEA7bTuCJ1

Kwadrat nazywamy magicznym, jeżeli sumy wyrazów w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na przekatnych są takie same. Przeciągnij i upuść tak, aby poniższy kwadrat stał się kwadratem magicznym.

$4 x^{2}$ , $2 x (x + 1)$ , $2 x (2 x + 1)$ , $8 x^{2}$ , $- 4 x (x - 1)$ , $4 x (1 - \frac{1}{2} x)$

.................................................. .................................................. $6 x^{2}$
.................................................. .................................................. $4 x$
.................................................. .................................................. $2 x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

W gimnazjum, w którym uczy się Dorota, oceny semestralne wystawia się w oparciu o średnią ważoną. Średnią ważoną oblicza się, dzieląc sumę wszystkich iloczynów ocen i ich wag przez sumę wszystkich wag.
Zapisz i przedstaw w najprostszej postaci wyrażenie przedstawiające średnią ważoną ocen Doroty z matematyki, jeżeli dziewczynka uzyskała $x$ piątek z wagą $3$ i $y$ piątek z wagą $2$ , $x$ czwórek z wagą $3$ , $y$ czwórek z wagą $2$ , jedną trójkę z wagą $3$ i jedną trójkę z wagą $2 .$ Suma wag wszystkich ocen Doroty wynosi $20$ .

(3 ∙ 5 ∙ x + 2 ∙ 5 ∙ y + 3 ∙ 4 ∙ x + 2 ∙ 4 ∙ y + 3 ∙ 3 + 3 ∙ 2) : 20 =

(15 x + 10 y + 12 x + 8 y + 9 + 6) : 20 =

(27 x + 18 y + 15) : 20 = 1,35 x + 0,9 y + 0,75

Ćwiczenie 10

Dany jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość $x cm$ , krótsza podstawa ma długość $(y + 3) cm$ , a wysokość $z cm$ . Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie opisujące

pole tego trapezu
pole trapezu otrzymanego w wyniku wydłużenia dłuższej podstawy o $7 cm$ , skrócenia krótszej podstawy o $2 cm$ i zwiększenia wysokości $5$ razy
różnicę pól trapezów opisanych w podpunktach $b)$ i $a)$

$\frac{x z + y z + 3 z}{2}$
$\frac{5 x z + 5 y z + 40 z}{2}$
$\frac{4 x z + 4 y z + 37 z}{2} = 2 x z + 2 y z + 18,5 z$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1QktFrXt4cZ7

static

Ćwiczenie 12

RH9FDjoWJKdNc1

Przeciągnij i upuść.

$- x^{2} y - 3 x$ , $- x^{2} - 6 y$ , $- 8 k^{2} l + 2 l$ , $- 4 a^{2} b + 10 a b^{2}$ , $4 a^{2} b + 10 a b^{2}$ , $x^{2} - 6 y$ , $- x^{2} y + 3 x$ , $8 k^{2} l + 2 l$ , $- 8 k^{2} l - 2 l$ , $x^{2} y + 3 x$ , $- x^{2} + 6 y$ , $x^{2} y - 3 x$ , $4 a^{2} b - 10 a b^{2}$ , $8 k^{2} l - 2 l$ , $- 4 a^{2} b - 10 a b^{2}$ , $x^{2} + 6 y$

a) $x (x - 2 y) + 3 y (x - 2) +$ ................................................................................ $= x y$
b) $- 4 a b (2 a - 3 b + 4) - (2 a^{2} b +$ ................................................................................ $- 12 a b) = - 6 a^{2} b + 2 a b^{2} - 4 a b$
c) $k^{2} (- 2 l + k - 7) - 2 l (3 k^{2} - 1) = k^{3} - 7 k^{2} +$ ................................................................................
d) $x y (2 x - 3 y) + x (- 3 xy + 5 y^{2} + 3) =$ ................................................................................ $+ 2 x y^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Zapisz odpowiedź na pytania w postaci wyrażenia algebraicznego.

Kasia i Asia zbierały muszelki. Kasia zbierała muszelki $2$ dni, a Ania $3$ dni. Kasia każdego dnia zbierała $x$ muszelek i wyrzucała $5$ muszelek uszkodzonych. Asia każdego dnia zbierała $y$ muszelek i wyrzucała $7$ uszkodzonych. Ile muszelek mają obie dziewczynki razem.
Jacek dostaje $x zł$ kieszonkowego miesięcznie, a Michał $y zł$ . W listopadzie i grudniu Jacek dostał dodatkowo po $20 zł$ od cioci, natomiast Michał dostał dodatkowo po $30 zł$ od swojego brata. Ile pieniędzy otrzymali w listopadzie i grudniu obaj chłopcy razem?

$2 x + 3 y - 31$
$2 x + 2 y + 100$

Ćwiczenie 14

Wiadomo, że
$W = 3 x - 7 x y + y - 3$ ; $Q = - 4 x$
$R = - 5 x^{2} + 3,5 x^{2} y - 7 xy + 9$
Zapisz w najprostszej postaci.

$Q · W + R$
$Q · R - W$

$- 17 x^{2} + 31,5 x^{2} y - 11 x y + 12 x + 9$
$20 x^{3} - 14 x^{3} y + 28 x^{2} y - 39 x + 7 x y - y + 3$

Ćwiczenie 15

Alina i Balladyna zbierały maliny. Alina zebrała $(2 x + 3) kg$ malin, a Balladyna o $4 kg$ malin mniej.

Ile malin razem zebrały Alina i Balladyna?
Ile kilogramów malin średnio zebrała każda z nich?

$4 x + 2$
$2 x + 1$

Ćwiczenie 16

W dzbanku są $3 l$ mleka. Mlekiem z dzbanka dopełniamy dwie szklanki o pojemności $0,2 l$ , wiedząc, że w każdej z nich znajduje się $x$ litrów mleka. Ile mleka zostanie w dzbanku?

$(2 x + 2,6) l$ mleka

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias