Graniastosłup prosty i jego własności. Związki miarowe w graniastosłupach
Bryły obrotowe - walec
Ostrosłup i jego własności
Ostrosłup
Definicja: Ostrosłup
Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.
R1648JXIJZAiv1
Animacja pokazuje ostrosłup o podstawie trójkąta. Możemy dokładać liczbę wierzchołków podstawy i obserwować ostrosłupy o podstawach: 4‑kąta, 5‑kąta, 6‑kąta, …, 10‑kąta.
Animacja pokazuje ostrosłup o podstawie trójkąta. Możemy dokładać liczbę wierzchołków podstawy i obserwować ostrosłupy o podstawach: 4‑kąta, 5‑kąta, 6‑kąta, …, 10‑kąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!
Podstawą ostrosłupa może być dowolny trójkąt, dowolny czworokąt i dowolny sześciokąt.
RfRuCBACTRwJU1
Rysunki ostrosłupa trójkątnego, ostrosłupa czworokątnego i ostrosłupa sześciokątnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd...), a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie, to mówimy, że taki ostrosłup jest prawidłowy.
RSAbiBGlYtuPo1
Animacja
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Odcinki w ostrosłupie
Przykład 1
Chcąc narysować ostrosłup prosty, po narysowaniu podstawy zaznaczamy wysokość – odcinek prostopadły do płaszczyzny podstawy. Koniec wysokości, który nie leży na podstawie, łączymy z wierzchołkami podstawy.
RwLW9hNfbhwcd1
Animacja
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Przykład 2
W przypadku ostrosłupów prawidłowych, po narysowaniu podstawy zaznaczamy spodek wysokości, który jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a następnie rysujemy wysokość i krawędzie boczne. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży na przecięciu wysokości podstawy.
R13l2N3WfSAQj1
Animacja
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
R1FElmvJVrxUL1
Animacja pokazuje rysowanie ostrosłupa czworokątnego. Rysujemy podstawę ostrosłupa czyli czworokąt, zaznaczamy wierzchołki podstawy i krawędzie podstawy. Obieramy wierzchołek ostrosłupa i prowadzimy krawędzie boczne z wierzchołków podstawy do wierzchołka ostrosłupa. W kolejnych krokach zaznaczmy ściany boczne, wysokość ściany bocznej, przekątne podstawy, wysokość ostrosłupa oraz spodek wysokości ostrosłupa.
Animacja pokazuje rysowanie ostrosłupa czworokątnego. Rysujemy podstawę ostrosłupa czyli czworokąt, zaznaczamy wierzchołki podstawy i krawędzie podstawy. Obieramy wierzchołek ostrosłupa i prowadzimy krawędzie boczne z wierzchołków podstawy do wierzchołka ostrosłupa. W kolejnych krokach zaznaczmy ściany boczne, wysokość ściany bocznej, przekątne podstawy, wysokość ostrosłupa oraz spodek wysokości ostrosłupa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Zapamiętaj!
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe, to taki ostrosłup nazywamy prostym.
Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznym,i nazywać będziemy czworościanem.
RlnTLIKpPRh6b1
Rysunek czworościanu o krawędziach równych a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iQm8s1xZ4w_d5e183
Kąty w ostrosłupie
RaIRgRO6mLRnp1
Animacja pokazuje ostrosłup czworokątny, w który zaznaczane są kolejno: kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi, kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi oraz kąt między sąsiednimi ścianami.
Animacja pokazuje ostrosłup czworokątny, w który zaznaczane są kolejno: kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi, kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi oraz kąt między sąsiednimi ścianami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
Zapamiętaj!
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe
gdzie oznacza pole podstawy ostrosłupa, a – pole powierzchni bocznej. W szczególności pole całkowite czworościanu o krawędzi jest równe
Siatka ostrosłupa
RChenylJSV70m1
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka – powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
Siatka ostrosłupa
R1ackjraRwZqe1
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
iQm8s1xZ4w_d5e255
Zapamiętaj!
Objętość ostrosłupa jest równa
gdzie oznacza pole podstawy ostrosłupa, a – wysokość bryły. W szczególności objętość
czworościanu o krawędzi jest równa
ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy i wysokości jest równa
Przykład 3
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , takim że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
RUQzl4eyz3TQh1
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie S. Pole podstawy jest równe 72 centymetry kwadratowe, a krawędź boczna ostrosłupa, wychodząca z wierzchołka C jest nachylona do podstawy pod kątem alfa, którego tangens alfa = 0,6. Poprowadzona wysokość ostrosłupa H. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o polu równym 72 centymetry kwadratowe, czyli P indeks dolny p = jedna druga razy (d indeks dolny p) do kwadratu, gdzie d indeks dolny p, to przekątna AC podstawy ostrosłupa. Wynika z tego, że 72 = jedna druga (d indeks dolny p) do kwadratu, zatem d indeks dolny p = 12 cm. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy jest równy kątowi przy wierzchołku C w trójkącie prostokątnym C O S, gdzie punkt O to spodek wysokości ostrosłupa. Z definicji funkcji trygonometrycznych tangens alfa = początek ułamka, licznik H kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy d indeks dolny p, koniec ułamka =0,6, czyli H = 3,6 cm. Objętość ostrosłupa jest równa V = jedna trzecia razy P indeks dolny p razy H = jedna trzecia razy 72 razy 3,6 = 86,4 cm do sześcianu.
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie S. Pole podstawy jest równe 72 centymetry kwadratowe, a krawędź boczna ostrosłupa, wychodząca z wierzchołka C jest nachylona do podstawy pod kątem alfa, którego tangens alfa = 0,6. Poprowadzona wysokość ostrosłupa H. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o polu równym 72 centymetry kwadratowe, czyli P indeks dolny p = jedna druga razy (d indeks dolny p) do kwadratu, gdzie d indeks dolny p, to przekątna AC podstawy ostrosłupa. Wynika z tego, że 72 = jedna druga (d indeks dolny p) do kwadratu, zatem d indeks dolny p = 12 cm. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy jest równy kątowi przy wierzchołku C w trójkącie prostokątnym C O S, gdzie punkt O to spodek wysokości ostrosłupa. Z definicji funkcji trygonometrycznych tangens alfa = początek ułamka, licznik H kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy d indeks dolny p, koniec ułamka =0,6, czyli H = 3,6 cm. Objętość ostrosłupa jest równa V = jedna trzecia razy P indeks dolny p razy H = jedna trzecia razy 72 razy 3,6 = 86,4 cm do sześcianu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , a ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy po kątem. Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.
R1LOcrnrd3DmZ1
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie S. Wysokość ostrosłupa H = 9 cm, krawędź podstawy jest równa a. Ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z podstawy A B C D i czterech trójkątów równoramiennych B C S, C D S, D A S, A B S. Pole powierzchni całkowitej równe jest sumie pola powierzchni podstawy i powierzchni bocznej, czyli sumie pola podstawy i czterech pól ścian bocznych. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty między wysokością ściany bocznej h indeks dolny b a podstawą bryły. Kąt ten jest zawarty w trójkącie P O S, gdzie punkt O jest spodkiem wysokości ostrosłupa, zaś punkt P to punkt wyznaczający połowę krawędzi podstawy. Z definicji funkcji trygonometrycznych tangens kąta 60 stopni = początek ułamka, licznik H kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka, czyli pierwiastek z trzech = początek ułamka, licznik 9 kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka. Z tego a = 6 pierwiastków z trzech centymetrów. Pole podstawy = a kwadrat = (6 pierwiastków z trzech) do kwadratu = 108 centymetrów kwadratowych. Z definicji funkcji trygonometrycznej w tym samym trójkącie P O S sin kąta 60 stopni = początek ułamka, licznik H, kreska ułamkowa mianownik h indeks dolny b, koniec ułamka. Zatem pierwiastek z trzech przez dwa = początek ułamka 9, kreska ułamkowa h indeks dolny b, koniec ułamka. To h indeks dolny b = 6 pierwiastków z trzech. Zatem Powierzchnia boczna (P indeks dolny b) = 4 powierzchnie ścian bocznych ( P indeks dolny śb) = 4 razy jedna druga razy a razy h indeks dolny b = 2 razy 6 pierwiastków z trzech razy 6 pierwiastków z trzech = 216 centymetrów kwadratowych. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa równa się sumie pola podstawy i pola powierzchni bocznej = 108 +216 = 324 centymetry kwadratowe.
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie S. Wysokość ostrosłupa H = 9 cm, krawędź podstawy jest równa a. Ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z podstawy A B C D i czterech trójkątów równoramiennych B C S, C D S, D A S, A B S. Pole powierzchni całkowitej równe jest sumie pola powierzchni podstawy i powierzchni bocznej, czyli sumie pola podstawy i czterech pól ścian bocznych. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty między wysokością ściany bocznej h indeks dolny b a podstawą bryły. Kąt ten jest zawarty w trójkącie P O S, gdzie punkt O jest spodkiem wysokości ostrosłupa, zaś punkt P to punkt wyznaczający połowę krawędzi podstawy. Z definicji funkcji trygonometrycznych tangens kąta 60 stopni = początek ułamka, licznik H kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka, czyli pierwiastek z trzech = początek ułamka, licznik 9 kreska ułamkowa, mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka. Z tego a = 6 pierwiastków z trzech centymetrów. Pole podstawy = a kwadrat = (6 pierwiastków z trzech) do kwadratu = 108 centymetrów kwadratowych. Z definicji funkcji trygonometrycznej w tym samym trójkącie P O S sin kąta 60 stopni = początek ułamka, licznik H, kreska ułamkowa mianownik h indeks dolny b, koniec ułamka. Zatem pierwiastek z trzech przez dwa = początek ułamka 9, kreska ułamkowa h indeks dolny b, koniec ułamka. To h indeks dolny b = 6 pierwiastków z trzech. Zatem Powierzchnia boczna (P indeks dolny b) = 4 powierzchnie ścian bocznych ( P indeks dolny śb) = 4 razy jedna druga razy a razy h indeks dolny b = 2 razy 6 pierwiastków z trzech razy 6 pierwiastków z trzech = 216 centymetrów kwadratowych. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa równa się sumie pola podstawy i pola powierzchni bocznej = 108 +216 = 324 centymetry kwadratowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku . Trójkąt jest równoboczny, a jego pole jest równe . Oblicz objętość ostrosłupa.
RULSB3UCZLoEn1
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa. Dany jest ostrosłup o podstawie prostokąta A B C D i wierzchołku w punkcie S. Boki podstawy są w stosunku 2 do 3. Trójkąt A C S jest równoboczny, a jego pole jest równe 27 pierwiastków z trzech decymetrów kwadratowych. Możemy zapisać, że boki podstawy mają odpowiednio długości AD = BC = 2x oraz AB = CD = 3x. Ponieważ znamy pole trójkąta równobocznego A C S możemy obliczyć długość boku tego trójkąta.: 27 pierwiastków z trzech = a kwadrat razy pierwiastek z trzech przez cztery, więc a = 6 pierwiastków z trzech. Odcinek AC = a trójkąta prostokątnego A C S jest jednocześnie przekątną podstawy ostrosłupa. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że (6 pierwiastków z trzech) do kwadratu = (3x) do kwadratu + (2x) do kwadratu, stąd otrzymujemy x kwadrat = sto osiem trzynastych. Zatem pole podstawy ostrosłupa jest równe P indeks dolny p = 6x kwadrat = 6 razy sto osiem trzynastych = sześćset czterdzieści osiem trzynastych decymetrów kwadratowych. Następnie obliczamy wysokość H ostrosłupa, która jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego A C S. H = jedna druga razy 6 pierwiastków z trzech razy pierwiastek trzech = 9 dm. Zatem objętość ostrosłupa równa jest jedna trzecia pola podstawy razy wysokość ostrosłupa: V = jedna trzecia razy sześćset czterdzieści osiem trzynastych razy 9 = tysiąc dziewięćset czterdzieści cztery trzynaste decymetrów sześciennych.
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa. Dany jest ostrosłup o podstawie prostokąta A B C D i wierzchołku w punkcie S. Boki podstawy są w stosunku 2 do 3. Trójkąt A C S jest równoboczny, a jego pole jest równe 27 pierwiastków z trzech decymetrów kwadratowych. Możemy zapisać, że boki podstawy mają odpowiednio długości AD = BC = 2x oraz AB = CD = 3x. Ponieważ znamy pole trójkąta równobocznego A C S możemy obliczyć długość boku tego trójkąta.: 27 pierwiastków z trzech = a kwadrat razy pierwiastek z trzech przez cztery, więc a = 6 pierwiastków z trzech. Odcinek AC = a trójkąta prostokątnego A C S jest jednocześnie przekątną podstawy ostrosłupa. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że (6 pierwiastków z trzech) do kwadratu = (3x) do kwadratu + (2x) do kwadratu, stąd otrzymujemy x kwadrat = sto osiem trzynastych. Zatem pole podstawy ostrosłupa jest równe P indeks dolny p = 6x kwadrat = 6 razy sto osiem trzynastych = sześćset czterdzieści osiem trzynastych decymetrów kwadratowych. Następnie obliczamy wysokość H ostrosłupa, która jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego A C S. H = jedna druga razy 6 pierwiastków z trzech razy pierwiastek trzech = 9 dm. Zatem objętość ostrosłupa równa jest jedna trzecia pola podstawy razy wysokość ostrosłupa: V = jedna trzecia razy sześćset czterdzieści osiem trzynastych razy 9 = tysiąc dziewięćset czterdzieści cztery trzynaste decymetrów sześciennych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, którego wysokość jest równa Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem . Oblicz objętość ostrosłupa.
RyX6ki1WNvG971
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa. Dany jest ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego A B C i wierzchołku S. Wysokość h indeks dolny p ostrosłupa jest równa 9 pierwiastków z trzech centymetrów. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Znając wysokość trójkąta równobocznego (podstawy ostrosłupa) obliczamy długość jego boku a oraz pole jego podstawy 9 pierwiastków z trzech = a razy pierwiastek z trzech przez dwa, z tego a = 18 cm. Zatem pole podstawy (P indeks dolny p) = a kwadrat razy pierwiastek z trzech przez cztery = 81 pierwiastków z trzech centymetrów kwadratowych. Kąt 60 stopni nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest zawarty między bokami trójkąta prostokątnego A E S, gdzie punkt E jest spodkiem wysokości ostrosłupa, a odcinek SE = H. Z własności trójkąta równobocznego wynika, że odcinek AE stanowi dwie trzecie wysokości tego trójkąta. Dwie trzecie razy h indeks dolny p = 6 pierwiastków z trzech centymetrów. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym A E S otrzymujemy tangens 60 stopni = początek ułamka licznik H kreska ułamkowa mianownik dwie trzecie razy h indeks dolny p, koniec ułamka, czyli H = 18 cm. Objętość ostrosłupa jest równa jedna trzecia razy pole podstawy razy wysokość ostrosłupa = jedna trzecia razy 81 razy pierwiastek z trzech razy 18 = 486 pierwiastka z trzech centymetrów sześciennych.
Animacja ilustruje obliczanie objętości ostrosłupa. Dany jest ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego A B C i wierzchołku S. Wysokość h indeks dolny p ostrosłupa jest równa 9 pierwiastków z trzech centymetrów. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Znając wysokość trójkąta równobocznego (podstawy ostrosłupa) obliczamy długość jego boku a oraz pole jego podstawy 9 pierwiastków z trzech = a razy pierwiastek z trzech przez dwa, z tego a = 18 cm. Zatem pole podstawy (P indeks dolny p) = a kwadrat razy pierwiastek z trzech przez cztery = 81 pierwiastków z trzech centymetrów kwadratowych. Kąt 60 stopni nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest zawarty między bokami trójkąta prostokątnego A E S, gdzie punkt E jest spodkiem wysokości ostrosłupa, a odcinek SE = H. Z własności trójkąta równobocznego wynika, że odcinek AE stanowi dwie trzecie wysokości tego trójkąta. Dwie trzecie razy h indeks dolny p = 6 pierwiastków z trzech centymetrów. Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym A E S otrzymujemy tangens 60 stopni = początek ułamka licznik H kreska ułamkowa mianownik dwie trzecie razy h indeks dolny p, koniec ułamka, czyli H = 18 cm. Objętość ostrosłupa jest równa jedna trzecia razy pole podstawy razy wysokość ostrosłupa = jedna trzecia razy 81 razy pierwiastek z trzech razy 18 = 486 pierwiastka z trzech centymetrów sześciennych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa . Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem , którego . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
RJQVvNyUtAqET1
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o A B C D o krawędzi a. Wierzchołek ostrosłupa w punkcie S. Objętość ostrosłupa jest równa 9 pierwiastków z trzech. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem alfa, którego tangens alfa = dziewięć czwartych. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z czterech trójkątów równoramiennych (B CS, C D S, D A S, A B S) o wysokości h indeks dolny b. Aby obliczyć powierzchnię boczną musimy najpierw obliczyć długość krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej. Ponieważ objętość ostrosłupa jest równa jedna trzecia pola podstawy razy wysokość ostrosłupa, to wykorzystując warunki zadania mamy 9 pierwiastków z trzech = jedna trzecia razy P indeks dolny p razy H, czyli 27 pierwiastków z trzech = P indeks dolny p razy H. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty w trójkącie prostokątnym E F S, gdzie punkt E – spodek wysokości ostrosłupa, punkt F – wyznacza połowę krawędzi podstawy a. Z definicji funkcji trygonometrycznej wynika, że tangens alfa = początek ułamka licznik H, kreska ułamkowa mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka, czyli dziewięć czwartych = dwa razy H dzielone przez a., zatem H = dziewięć ósmych razy a. Wstawiamy H do wzoru 27 pierwiastków z trzech = a kwadrat razy H i po przekształceniach otrzymujemy a sześcian = 24 pierwiastki z trzech, czyli a= dwa pierwiastki z trzech decymetrów oraz po podstawieniu H = dziewięć czwartych pierwiastka z trzech decymetrów. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym E F S obliczamy wysokość ściany bocznej, (h indeks dolny b) do kwadratu = (jedna druga razy a) do kwadratu + H do kwadratu, czyli (h indeks dolny b) do kwadratu = (pierwiastek z trzech) do kwadratu + (dziewięć czwartych pierwiastka z trzech) do kwadratu, skąd h indeks dolny b = jedna czwarta pierwiastka z dwustu dziewięćdziesięciu jeden decymetrów. Powierzchnia ściany bocznej jest równa jedna druga razy a razy h indeks dolny b = trzy czwarte pierwiastka z dziewięćdziesięciu siedem. Zatem powierzchnia boczna ostrosłupa jest równa polu czterech ścian bocznych, czyli 3 pierwiastki z dziewięćdziesięciu siedmiu decymetrów kwadratowych.
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o A B C D o krawędzi a. Wierzchołek ostrosłupa w punkcie S. Objętość ostrosłupa jest równa 9 pierwiastków z trzech. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem alfa, którego tangens alfa = dziewięć czwartych. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z czterech trójkątów równoramiennych (B CS, C D S, D A S, A B S) o wysokości h indeks dolny b. Aby obliczyć powierzchnię boczną musimy najpierw obliczyć długość krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej. Ponieważ objętość ostrosłupa jest równa jedna trzecia pola podstawy razy wysokość ostrosłupa, to wykorzystując warunki zadania mamy 9 pierwiastków z trzech = jedna trzecia razy P indeks dolny p razy H, czyli 27 pierwiastków z trzech = P indeks dolny p razy H. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest zawarty w trójkącie prostokątnym E F S, gdzie punkt E – spodek wysokości ostrosłupa, punkt F – wyznacza połowę krawędzi podstawy a. Z definicji funkcji trygonometrycznej wynika, że tangens alfa = początek ułamka licznik H, kreska ułamkowa mianownik jedna druga razy a, koniec ułamka, czyli dziewięć czwartych = dwa razy H dzielone przez a., zatem H = dziewięć ósmych razy a. Wstawiamy H do wzoru 27 pierwiastków z trzech = a kwadrat razy H i po przekształceniach otrzymujemy a sześcian = 24 pierwiastki z trzech, czyli a= dwa pierwiastki z trzech decymetrów oraz po podstawieniu H = dziewięć czwartych pierwiastka z trzech decymetrów. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym E F S obliczamy wysokość ściany bocznej, (h indeks dolny b) do kwadratu = (jedna druga razy a) do kwadratu + H do kwadratu, czyli (h indeks dolny b) do kwadratu = (pierwiastek z trzech) do kwadratu + (dziewięć czwartych pierwiastka z trzech) do kwadratu, skąd h indeks dolny b = jedna czwarta pierwiastka z dwustu dziewięćdziesięciu jeden decymetrów. Powierzchnia ściany bocznej jest równa jedna druga razy a razy h indeks dolny b = trzy czwarte pierwiastka z dziewięćdziesięciu siedem. Zatem powierzchnia boczna ostrosłupa jest równa polu czterech ścian bocznych, czyli 3 pierwiastki z dziewięćdziesięciu siedmiu decymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iQm8s1xZ4w_d5e394
A
Ćwiczenie 1
Na rysunkach przedstawiono ostrosłupy prawidłowe. Oblicz objętość każdego z ostrosłupów.
RVFhWqsk62G4e1
Rysunki ostrosłupów prawidłowych. Pierwszy ostrosłup ma w podstawie trójkąt równoboczny o krawędzi długości 6 oraz krawędzi bocznej ostrosłupa równej 4. Drugi ostrosłup ma w podstawie kwadrat o krawędzi długości 4 pierwiastki z dwóch a wysokość ściany bocznej równa jest 5. Trzeci ostrosłup ma w podstawie sześciokąt o krawędzi 6 i krawędzi ściany bocznej równej 7.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Roo5yDTEjnX8R1
Rysunki trzech ostrosłupów o podstawie prostokąta. Pierwszy ostrosłup ma krawędzie podstawy równe 4 i 2 oraz długość krawędzi ściany bocznej równą 6. Drugi ostrosłup ma krawędzie podstawy równe 6 i 8 oraz kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy równy 45 stopni. Trzeci ostrosłup ma długość krawędzi ściany bocznej równa 8 i wysokość ostrosłupa równą 6. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 60 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3
Wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego jest równa . Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego czworościanu.
A
Ćwiczenie 4
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , a wysokość ściany bocznej jest równa . Oblicz objętość ostrosłupa.
A
Ćwiczenie 5
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o przekątnej długości . Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz objętość ostrosłupa.
A
Ćwiczenie 6
Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , którego . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, wiedząc, że jego wysokość jest równa .
A
Ćwiczenie 7
Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa krawędzi podstawy. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 48 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
iQm8s1xZ4w_d5e548
A
Ćwiczenie 8
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o polu , a ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Oblicz objętość ostrosłupa.
A
Ćwiczenie 9
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu , w którym jeden z boków jest o krótszy od drugiego. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz objętość ostrosłupa.
A
Ćwiczenie 10
Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny o polu równym . Objętość ostrosłupa jest równa .Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
B
Ćwiczenie 11
RzuEqv5KSD2QG1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 12
RVxcuvBqSN7j41
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13
RWMjUHe0eIa4Z1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 14
RyeJE7nT5lkwE1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.