Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe

Learning objectives

• You will learn to use the properties of supplementary and vertical angles to solve problems including problems to proof a theorem.

Learning effect

• You apply the properties of supplementary and vertical angles to solve problems, also to proof theorems.

• You communicate in English using the properties of supplementary and vertical angles.

Review what you remember about supplementary and vertical anglesvertical anglesvertical angles.

The supplementary anglessupplementary anglessupplementary angles are the two angles that have one ray, and the other rays are complementary to the straight line.

The vertical anglesvertical anglesvertical angles are two angles that have a common vertex and the rays of one angle are the corresponding rays of the other angle.

The sum of measures of supplementary anglessupplementary anglessupplementary angles is equal to 180°.

The measures of vertical angle are equal.

Task 1

R1LCH6V57WRfO1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Open the Geogebra applet „Vertical angles and supplementary angles”.

Do the tasks. Repeat them several times to solve them flawlessly.

RrRPWXim4MAkh1

Geogebra aplet - Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DyrpmFz2q

RWglliuTfqwcP1

Pierwszy rysunek przedstawia kąty wierzchołkowe, jeden ma miarę 60 stopni, a drugi oznaczono alfa. Drugi rysunek przedstawia kąty przyległe, jeden ma miarę 147 stopni, a drugi oznaczono beta.

R1BS97dDJUwyQ1

Na jednym rysunku przedstawiono kąty przyległe, jeden z nich ma miarę 33 stopni, a drugi oznaczona alfa. Na drugim rysunku przedstawiono dwie proste przecinające się w jednym punkcie. Miara jednego z kątów przecięcia się prostych jest równa 122 stopni. Pozostałe kąty oznaczono beta, gamma, delta.

R1N0KGHQLYecJ1

Rysunek przedstawia dwie proste przecinające się w punkcie. Jeden z kątów przecięcia się prostych ma miarę 54 stopnie, kąt przyległy do niego oznaczono jako alfa. W drugim kącie przyległym do danego poprowadzono prostą prostopadłą do jednej z danych prostych w punkcie ich przecięcia. Zaznaczono kąt prosty, a jako kąt beta oznaczono kąt między prostą prostopadłą a drugą z prostych.

R1XKtNVYaZk2E1

Rysunek przedstawia dwie proste przecinające się w punkcie. Miara jednego z kątów przecięcia jest równa 50 stopni. Poprowadzono dwusieczną kąta przyległego do niego. Jako alfa oznaczono kąt między dwusieczną a jedną z prostych.

R1bqifPDN3W1f1

Rysunek przedstawia trójkąt o kącie przy podstawie 34 stopni. Tę podstawę przedłużono i kąt miedzy podstawą a drugim bokiem trójkąta ma miarę 81 stopni. Kąt alfa, to kąt trójkąta nieleżący przy podstawie.

In the tasks below proof the following theorems.

Task 3

R1CAactkrkzQt1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Remembering that the triangle angle measure is equal to 180°, show that for the angles shown in the figure, the equality is $\gamma =\alpha +\beta$.

R1FmPkzJh7UOP1

Rysunek przedstawia trójkąt o kątach α, β. Podstawa trójkąta przy kącie α została przedłużona, kąt między bokiem trójkąta a tym przedłużeniem oznaczono jako γ.

Task 4

Rcl83jiPC8C4Q1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Proof that the angles shown in the picture meet the following condition $\delta =\beta +\gamma .$

R1QDPx8iW1D271

Rysunek przedstawia trójkąt o kątach α, γ. Podstawa trójkąta przy kącie γ została przedłużona, kąt między bokiem trójkąta a tym przedłużeniem oznaczono jako δ. Kąty α i β są kątami wierzchołkowymi przy jednym z wierzchołków trójkąta.

Task 5

RXxICpxxVUp4c1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Using the figure below proof that, if $\alpha =\beta$ thus $\gamma +\delta ={180}^{\circ }.$

R1GaJQ6cSTmIX1

Rysunek przedstawia prostą przeciętą przez dwie półproste o wspólnym początku. Kąty α, β, γ, δ powstały w punktach przecięcia prostej z półprostymi. Kąty α, γ są kątami wierzchołkowymi, a kąty β i δ są kątami przyległymi.

Task 6

An extra task:

RANTqVMj6RpiO1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Prove that the angles shown in the figure meet the condition $\delta =\alpha +\beta +\gamma$.

Tip:
Extend the section of CD to be intersected with the side AB and mark the point of the intersection as E.

RF2yhmj1BVyiv1

Rysunek przedstawia czworokąt wklęsły ABCD. Kąty α, β, γ są kątami wewnętrznymi tego czworokąta przy wierzchołkach A, B, C odpowiednio. Kąt δ jest uzupełnieniem do kąta pełnego kąta wewnętrznego przy wierzchołku D tego czworokąta.

Remember:

• The sum of measures of supplementary anglessupplementary anglessupplementary angles is equal to 180°.

• The measures of vertical anglesvertical anglesvertical angles are equal.

Exercises

Exercise 2

Analyze the angles in the figure below. Prove that if $\gamma =\delta ,$ thus $\alpha =\beta .$

RDeSCPe7XqOZD1

Rysunek przedstawia trzy proste na płaszczyźnie, wzajemnie przecinające się i tworzące trójkąt. Kąty α, β, γ, δ powstały w punktach dwóch boków trójkąta z jego podstawą. Kąty α i γ są kątami przyległymi, podobnie jak kąty β i δ.

Show solution

Student's individual work.

Exercise 3

In the figure below, prove that the sum of the angles marked by arrows is 900°.

RTPa4xTTgCtsU1

Rysunek przedstawia trójkąt powstały z przecięcia trzech prostych. Proste te, przy każdym z wierzchołków tworzą cztery kąty. Na rysunku kolorem zaznaczono po trzy kąty przy każdym wierzchołku, które nie są kątami wewnętrznymi trójkąta.

Show solution

The sum of angles at each triangle vertex presented in this figure is 360° (two sums of supplementary angles). The sum of the interior angle measures in a triangle is 180°.
Hence: 
The sum of angles marked by arrows is equal to $3\cdot {360}^{\circ }-{180}^{\circ }={900}^{\circ }.$

Glossary

Keywords

adjacent anglesadjacent anglesadjacent angles

sum of anglessum of anglessum of angles

supplementary anglessupplementary anglessupplementary angles - to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej

vertical anglesvertical anglesvertical angles - to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta