Dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą, nazywamy kątami przyległymi.

Na rysunku kątykątkąty $\alpha$ i $\delta$ są kątami przyległymi.

RGgoJWlkdpbXl

Rysunek przedstawia ukośną prostą oraz półprostą, której początek znajduje się na prostej. Półprosta nachylona jest do prostej pod ostrym kątem alfa, który dopełnia do stu osiemdziesięciu stopnie kąt rozwarty beta.

Kąty przyległe tworzą kąt półpełnykąt półpełnykąt półpełny, czyli suma miar kątów przyległych jest równa $180$ stopni.

Kąty wypukłekąt wypukłyKąty wypukłe o wspólnym wierzchołkuwierzchołek kątawierzchołku, w których ramiona jednego kątaramiona kątaramiona jednego kąta stanowią przedłużenia ramion drugiego, nazywamy kątami wierzchołkowymi.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Na rysunku przedstawione są dwie przecinające się proste oraz miara jednego z utworzonych kątów. Wyznaczymy miary pozostałych kątów.

R1XHav8wqSWfT

Rysunek przedstawia dwie ukośne przecinające się proste. Zaznaczono trzy kąty przecięcia: kąt alfa i kąt przeciwległy o mierze 80 stopni oraz kąt sigma, który razem z kątem alfa dają kąt półpełny.

Kąt $\alpha$ ma miarę $80°$, bo jest kątem wierzchołkowym kąta $80°$.

Kąt $\delta$ ma miarę $180°-80°=100°$, bo jest kątem przyległym do kąta $80°$.

Sprawdzimy, czy punkty $A$, $B$, $C$ na przedstawionym rysunku leżą na jednej prostej.

RUgcR4WoHABkq

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której oznaczono od lewej punkty: B, C, A. Z punktu C poprowadzono ukośną półprostą, która wraz z prostą wyznaczyła dwa kąty: 59 stopni i 123 stopnie.

Sprawdzamy, czy kąty  $123°$ i $59°$ są przyległe: $123°+59°=182°\ne 180°$

Ponieważ suma miar kątów $123°$ i $59°$ jest różna od $180°$, to kąty te nie są przyległe, i stąd wnioskujemy, że punkty $A$, $B$, $C$ nie leżą na jednej prostej.

Na rysunku przedstawione są dwie przecinające się proste oraz wyrażenia algebraiczne ze zmienną $x$ opisujące miarę kątów w stopniach. Wyznaczymy miary kątów wypukłych $\sphericalangle ACD$, $\sphericalangle ACE$, $\sphericalangle BCD$, $\sphericalangle BCE$.

R1QKeYQ8SPqi1

Rysunek przedstawia dwie ukośne proste: prostą A B i prostą D E, które przecinają się w punkcie C. Zaznaczono przeciwległe kąty ostre przecięcia, czyli kąty B C E opisany jako 2 x dodać 4 stopnie oraz kąt A C D opisany jako 3 x odjąć 6 stopni.

Wyznaczymy najpierw wartość zmiennej $x$.

Kąty $\sphericalangle ACD$ i $\sphericalangle BCE$ są kątami wierzchołkowymi, więc $2x+4°=3x-6°$.

Stąd $x=10°$.

Ostatecznie:

$\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCE=20°+4°=24°$

$\sphericalangle ACE=\sphericalangle BCD=180°-24°=156°$

Zaprogramuj trójkąt równoboczny.

Zadaniem robota jest namalowanie na podłodze trójkąta równobocznego. Robot potrafi wykonać dwie operacje: „idź do przodu określoną liczbę kroków i maluj linię” oraz „obróć się o określony kąt”. Jak zaprogramować robota, by namalował trójkąt równoboczny o boku równym $10$ kroków?

Aby wykonać to zadanie, zauważamy, że wszystkie trzy kąty w trójkącie równobocznym mają miarę $60°$. Zauważmy, że robot zatrzymując się po wykonaniu $10$ kroków, odpowiadających długości boku trójkąta, musi obrócić się tak, by po wykonaniu kolejnych $10$ kroków namalować drugi bok trójkąta.

RBvuXejZQCMIp

Ilustracja przedstawia odcinek B C, który przedłużony jest dalej za punktem C za pomocą linii przerywanej zakończonej grotem strzałki. Z punkty C poprowadzono także strzałkę ukośnie w dół tak, że strzałka razem z odcinkiem B C tworzą kąt 60 stopni. Zaznaczono również kąt, który strzałka tworzy z przedłużeniem odcinka i opisano go znakiem zapytania.

Popatrz na rysunek powyżej. Robot rusza z punktu $B$ i zatrzymuje się po $10$ krokach w punkcie $C$. Gdyby robot kontynuował ruch, to poruszałby się wzdłuż prostej $BC$. Zatem robot musi obrócić się w prawo o kąt przyległy do kąta $60°$, czyli o kątkątkąt $120°$. Uruchom aplet i sprawdź jak porusza się robot.

R4BZCARCmLhx6

W animacji przedstawiono poziomą linię, na której zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim. Przez jedenasty punkt poprowadzono ukośną prostą biegnącą w górę w lewo i zaznaczono kąt 120 stopni między częścią poziomej prostej znajdującej się za jedenastym punktem a między ukośną prostą. Na ukośnej prostej również zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim (licząc punkt przecięcia prostych) i powtórzono schemat, czyli przez jedenasty punkt poprowadzono kolejną ukośną prostą, ponownie zaznaczono kąt 120 stopni między prostymi. Na trzeciej prostej również zaznaczono jedenaście kolejnych punktów (wraz z punktami przecięcia). Trzecia prosta przecina pierwszą, poziomą prostą i wyznacza z nią również kąt 120 stopni. Trzy proste wyznaczyły trójkąt równoboczny, którego tło wyróżniono kolorem.

W animacji przedstawiono poziomą linię, na której zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim. Przez jedenasty punkt poprowadzono ukośną prostą biegnącą w górę w lewo i zaznaczono kąt 120 stopni między częścią poziomej prostej znajdującej się za jedenastym punktem a między ukośną prostą. Na ukośnej prostej również zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim (licząc punkt przecięcia prostych) i powtórzono schemat, czyli przez jedenasty punkt poprowadzono kolejną ukośną prostą, ponownie zaznaczono kąt 120 stopni między prostymi. Na trzeciej prostej również zaznaczono jedenaście kolejnych punktów (wraz z punktami przecięcia). Trzecia prosta przecina pierwszą, poziomą prostą i wyznacza z nią również kąt 120 stopni. Trzy proste wyznaczyły trójkąt równoboczny, którego tło wyróżniono kolorem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DzzaZGjXq

Takie programy można napisać np. w scratchu. Jak to zrobić? Przeczytaj instrukcjęprogram rysujący trójkąt równoboczny w scratchuinstrukcję.

część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi (wraz z tymi półprostymi) wychodzącymi z tego samego punktu

półproste wyznaczające kąt

punkt wspólny ramion kąta

kąt, którego miara wynosi od $0°$ do $180°$

kąt, którego miara wynosi $180°$