Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją 3D, a następnie wykonaj polecenia pod nią.

RhjS0NNsph1vL

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D104a7npt

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego odcinków i kątów w czworościanie foremnym.

Polecenie 2

Wyznacz długość krawędzi czworościanu dualnego do czworościanu o krawędzi $a$ .

RpsUslbZ83eMk

Ilustracja przedstawia czworościan dualny. Czworościan zewnętrzny ma wierzchołki A B C D, czworościan wewnętrzny ma wierzchołki E F G S. W czworościanie o wierzchołkach A B C D zaznaczono odcinek AH, przy czym punkt H leży na krawędzi CB. W czworościanie tym zaznaczono również odcinek DH oraz wysokość DS. Wierzchołek F czworościanu wewnętrznego leży na odcinku DH, a wierzchołek S leży na odcinku AH. W wewnętrznym czworościanie zaznaczono odcinek FO, przy czym punkt O leży na wysokości DS.

Trójkąt $E F G$ – ściana czworościanu $E F G S$ – leży w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny trójkąta $A B C$ czworościanu $A B C D$ , czyli $O F ∥ S H$ . Możemy skorzystać z twierdzenia Talesa dla trójkąta $D S H$ . Zatem $\frac{|O F|}{|F D|} = \frac{|S H|}{|H D|}$ . Podstawiając $\frac{|O F|}{|F D|} = \frac{\frac{1}{3} h}{h} = \frac{1}{3}$ . Odcinki $|O F|$ i $|F D|$ stanowią $\frac{2}{3}$ odpowiednich wysokości, stąd skala podobieństwa między trójkątami $E F G$ i $A B C$ wynosi $k = \frac{1}{3}$ . A więc długość krawędzi czworościanu dualnego wynosi $\frac{a}{3}$ .

Polecenie 3

Wyznacz stosunek pola ściany czworościanu dualnego do pola ściany czworościanu foremnego $A B C D$ oraz stosunek objętości czworościanu dualnego do objętości czworościanu foremnego $A B C D$ .

RTjQylQ4Tqpnv

Skala podobieństwa trójkątów $E F G$ i $A B C$ wynosi $\frac{1}{3}$ , zatem $\frac{P_{E F G}}{P_{A B C}} = \frac{1}{9}$ i $\frac{V_{E F G}}{V_{A B C}} = \frac{1}{27}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się