Definicja czworościanu foremnego jest podobna do definicji zwykłego czworościanu, a zatem jest to bryła przestrzenna, dokładniej ostrosłup trójkątny, czyli jest to wielościan o czterech ścianach będących trójkątami, jednak tym razem wszystkie ściany bryły są przystającymi trójkątami równobocznymi. Podobnie jak zwykły ostrosłup trójkątny, czworościan foremny posiada:

• $6$ krawędzi,

• $4$ wierzchołki.

Udowodnij, że dla czworościanu foremnego o długości krawędzi równej $a$ jego wysokość jest wyrażona wzorem: $H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Rozwiązanie:

Niech podstawą naszego czworościanu foremnego będzie trójkąt $ABC$, natomiast $S$ będzie czwartym wierzchołkiem bryły. Ponadto niech $O$ będzie spodkiem wysokości $H$ opuszczonej z wierzchołka $S$.

R1Wjadz13L5Cl

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C S, przy czym wierzchołek S jest wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. Wysokość czworościanu oznaczono literą H, a jej spodek oznaczono literą O. Spodek ten leży na przecięciu się przekątnych podstawy czworościanu.

Zauważamy, że punkt $O$ jest także środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$.

Zatem:

$\left|AO\right|=\frac{2}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Rozpatrując teraz trójkąt prostokątny $AOS$, mamy:

${\left|AO\right|}^2+{\left|OS\right|}^2={\left|AS\right|}^2$

Po podstawieniu odpowiednich wielkości:

${\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+H^2=a^2$

Skąd:

$H^2=a^2-\frac{3a^2}{9}$

zatem:

$H^2=\frac{6a^2}{9}$

$H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Z drutu o długości $1,2 \mathrm{m}$ zbudowano szkielet czworościanu foremnego. Obliczymy długość krawędzi czworościanu.

Rozwiązanie:

Czworościan foremny ma sześć krawędzi tej samej długości, więc długość jednej krawędzi to jedna szósta ze $120\mathrm{cm}$, tj. $20\mathrm{cm}$.

Wyznaczymy kąt między krawędzią boczną czworościanu foremnego a płaszczyzną jego podstawy.

Rozwiązanie:

R89ukYzQUjgKf

Ilustracja przedstawia czworościan foremny. Krawędzie czworościanu mają długość a. Wysokość czworościanu oznaczono jako $\frac{a\sqrt{6}}{3}$, a jej spodek leży na przecięciu się przekątnych podstawy czworościanu. W czworościanie zaznaczono trójkąt składający się z krawędzi bocznej, wysokości oraz części jednej z wysokości podstawy. Kąt pomiędzy wysokością podstawy a krawędzią boczną podpisano literą alfa.

Korzystając z oznaczeń na rysunku widzimy, że $\sin \alpha =\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,82$, więc $\alpha \approx 55°$.

Wyznaczymy kąt między wysokością ściany bocznej czworościanu foremnego a płaszczyzną jego podstawy.

Rozwiązanie:

RHQw3002VO1v6

Ilustracja przedstawia czworościan foremny. Krawędzie czworościanu mają długość a. Wysokość czworościanu oznaczono ma długość $\frac{a\sqrt{6}}{3}$, a jej spodek leży na przecięciu się przekątnych podstawy czworościanu. W czworościanie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ściany bocznej o długości $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, wysokości czworościanu oraz części jednej z wysokości podstawy. Kąt pomiędzy wysokością podstawy a wysokością ściany bocznej podpisano literą alfa.

Korzystając z oznaczeń na rysunku widzimy, że $\sin \alpha =\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0,94$, więc $\alpha \approx 70°$.

Wyznaczymy, w jakim stosunku punkt przecięcia wysokości czworościanu dzieli każdą z tych wysokości.

Rozwiązanie:

RI6vADwH56d7h

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, przy czym wierzchołek D jest wierzchołkiem górnym. W czworościanie zaznaczono jego wysokość, jej spodek podpisano literą E. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek, którego drugi koniec znajduje się punkcie F leżącym na krawędzi BC. Odcinek ten przechodzi przez punkt E. Z wierzchołka górnego D poprowadzono odcinek do punktu F. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek pod kątem prostym do odcinka DF, koniec tego odcinka leżący na odcinku DF podpisano literą G. Punkt przecięcia się odcinka AG z wysokością DE podpisano literą O. Odcinek Do ma długość x, odcinek OE ma długość y. Obok czworościanu narysowano trójkąt DEF, Jest to trójkąt prostokątny, w którym DF jest przeciwprostokątną. W trójkącie zaznaczono również odinek OG, przy czy, kąt OGD jest kątem prostym. Podstawa trójkąta EF ma długość $\frac{1}{3}h$. Odcinek FG ma długość $\frac{1}{3}h$, odcinek GD ma długość $\frac{2}{3}h$. Odcinek OE podpisano literą y, odcinek OD podpisano literą x. Kąt ODG podpisano literą alfa, kąt DOG podpisano literą beta, kąt EFG podpisano literą beta.

Punkt $O$ jest punktem przecięcia się wysokości $AG$ i $DE$ czworościanu $ABCD$.

$AG$ i $DE$ – wysokości czworościanu foremnego $ABCD$, $\left|AG\right|=H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$,

$AF$ i $DF$ – wysokości ścian bocznych czworościanu foremnego $ABCD$, trójkątów równobocznych o bokach długości $a$, $\left|AF\right|=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Niech $x$ oznacza długość odcinka $DO$, a $y=H-x$.

Trójkąty $DEF$ i $DGO$ są trójkątami prostokątnymi posiadającymi wspólny kąt $\alpha$. Zachodzi więc $\frac{x}{\frac{2}{3}h}=\frac{h}{H}$, czyli $x=\frac{2}{3}h·\frac{h}{H}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{a\sqrt{6}}=\frac{3a}{2\sqrt{6}}=\frac{3a\sqrt{6}}{2\cdot 6}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$. Stąd $y=H-x=\frac{a\sqrt{6}}{3}-\frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{4a\sqrt{6}}{12}-\frac{3a\sqrt{6}}{12}=\frac{a\sqrt{6}}{12}$.

Zatem $\frac{x}{y}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{4}}{\frac{a\sqrt{6}}{12}}=\frac{3}{1}$.

Czworościan foremny wpisano w sześcian o długości krawędzi $2\sqrt{2} \mathrm{cm}$ tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną ściany tego sześcianu. Obliczymy długość wysokości ściany czworościanu.

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Z treści zadania $a=2\sqrt{2}$. Długość przekątnej ściany sześcianu obliczamy ze wzoru $d=a\sqrt{2}$. Stąd $d=2\sqrt{2}·\sqrt{2}=4 \mathrm{cm}$. Ściany czworościanu foremnego są trójkątami równobocznymi o długości $4$. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy $h=\frac{d\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

R1BXQAkmICo12

Ilustracja przedstawia sześcian, w który wpisano czworościan. Krawędź sześcianu ma długość $2\sqrt{2}$, krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian bocznych sześcianu. Wysokość czworościanu podpisano literą h.

W czworościanie foremnym o krawędzi długości $a$ środek wysokości czworościanu połączono odcinkami z dwoma wierzchołkami nie należącymi do tej wysokości. Wyznaczymy kąt między tymi odcinkami.

Rozwiązanie:

R1bI40k1XcNIq

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D , krawędź czworościanu ma długość A. W czworościanie zaznaczono jego wysokość, jej spodek podpisano literą E. Odcinek AE ma długość $\frac{2}{3}h$. Na środku wysokości DE zaznaczono punkt S, z tego punktu poprowadzono odcinki SA oraz SB o długości x. Kąt ASB podpisano literą alfa.

Z warunków zadania wynika, że $\left|DS\right|=\left|SE\right|=\frac{1}{2}H=\frac{1}{2}·\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$. Długość odcinka $\left|AE\right|=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}=a\frac{\sqrt{3}}{3}$. Trójkąt $AES$ jest trójkątem prostokątnym zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $x^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)}^2$. Stąd $x^2=\frac{3a^2}{9}+\frac{6a^2}{36}=\frac{12a^2}{36}+\frac{6a^2}{36}=\frac{a^2}{2}$.

Stosując twierdzenie cosinusów dla trójkąta $ASB$ otrzymujemy:

$a^2=x^2+x^2-2x\cdot x\cos \alpha$. Stąd $\cos \alpha =\frac{2x^2-a^2}{2x^2}=\frac{2\frac{a^2}{2}-a^2}{2\frac{a^2}{2}}=0$, czyli kąt $\alpha =90°$, a więc odcinki są prostopadłe względem siebie.

bryła przestrzenna (ostrosłup trójkątny), wielościan o ścianach będących przystającymi trójkątami równobocznymi

bryła geometryczna, której wszystkie wierzchołki poza jednym leżą w jednej płaszczyźnie

przedstawienie bryły na płaszczyźnie, powstające poprzez „rozcięcie” niektórych jej krawędzi tak, aby dało się rozłożyć ściany na płaszczyźnie