Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RiGH4HPCdJo5R1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Krawędź czworościanu foremnego ma długość $6 \sqrt{3} cm$ . Długość wysokości tego czworościanu wynosi:

$2 \sqrt{6} cm$
$6 \sqrt{3} cm$
$6 \sqrt{2} cm$
$3 \sqrt{6} cm$

R1PbuKfbL3m9P1

Ćwiczenie 2

Przeciągnij poprawne uzupełnienie zdania.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $6$ , $4$ , $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Wysokość czworościanu foremnego ma długość $\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , wtedy długość krawędzi tego czworościanu wynosi .

Ćwiczenie 3

Wyznacz sinus kąta dwuściennego między dwiema sąsiednimi ścianami w czworościanie foremnym przedstawionym na rysunku.

Rfe17RQFXVbtP

Ilustracja przedstawia czworościan foremny A B C D, gdzie wierzchołek D jest wierzchołkiem górnym. W czworościanie zaznaczono wysokość wielkie H, spodek tej wysokości podpisano literą S. W ścianie BCD zaznaczono jej wysokość małe h, spodek tej wysokości to punkt E. Odcinek AE przechodzi przez punkt S.

RkaFkW974rKA5

Zaznacz poprawną odpowiedź.

$\frac{1}{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ćwiczenie 4

a) W czworościanie foremnym $A B C D$ krawędź ma długość $a$ . Wyznacz obwód czworokąta, którego wierzchołkami są środki krawędzi $A B$ , $A C$ , $B D$ i $C D$ .

b) Jakiego rodzaju jest to czworokąt?

R1BvanlnwbnET

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D , krawędzie czworościanu podpisano litera a. W czworościanie zaznaczono czworokąt, którego wierzchołki leżą na środkach krawędzi, wierzchołek E na krawędzi AB, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi CD, a wierzchołek H na krawędzi AC.

a) Ściany czworościanu foremnego są trójkątami równobocznymi przystającymi do siebie. Odcinki łączące środki krawędzi $E F ∥ A D$ , $F G ∥ B C$ , $G H ∥ A D$ , $H E ∥ C B$ . Aby wyznaczyć obwód czworokąta $E F G H$ , wystarczy policzyć długość odcinka $|E F| = x$ . Korzystając z twierdzenia Talesa dla trójkątów $△ A B D$ i $△ E B F$ otrzymujemy zależność: $\frac{x}{\frac{a}{2}} = \frac{a}{a}$ . Stąd $x = \frac{a}{2}$ . Zatem obwód czworokąta $E F G H$ wynosi $4 \cdot x = 4 \cdot \frac{a}{2} = 2 a$ .

b) Dany czworokąt jest rombem, ponieważ ma $4$ boki równej długości. Krawędzie skośne w czworościanie foremnym przecinają się pod kątem prostym więc jest kwadratem.

R8sBnIa8PGMqL2

Ćwiczenie 5

Wpisz poprawną liczbę.

Długość łącznej sumy wszystkich długości krawędzi czworościanu foremnego wynosi $48$ , wtedy długość krawędzi czworościanu wynosi .............

Ćwiczenie 6

Czworościan foremny wpisano w sześcian o długości krawędzi $2 \sqrt{2} cm$ tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną ściany tego sześcianu. Oblicz długość wysokości ściany czworościanu.

RoPJ0qGeJh7K4

Ilustracja przedstawia sześcian, w który wpisano czworościan. Krawędź sześcianu ma długość 22, krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian bocznych sześcianu. Wysokość czworościanu podpisano literą h.

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$ . Z treści zadania $a = 2 \sqrt{2}$ . Długość przekątnej ściany sześcianu obliczamy ze wzoru $d = a \sqrt{2}$ . Stąd $d = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 cm$ . Długość przekątnej ściany sześcianu pokrywa się z długością krawędzi czworościanu foremnego, która jest bokiem trójkąta równobocznego, zatem, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, otrzymujemy $h = \frac{d \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} cm$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz odległość między dwiema krawędziami skośnymi czworościanu o krawędzi długości $a$ .

Aby wyznaczyć odległość między prostymi skośnymi, należy wyznaczyć odległość między równoległymi płaszczyznami, w których leżą dane proste skośne. Wpiszmy czworościan foremny w sześcian tak, że krawędzie czworościanu będą przekątnymi ścian sześcianu. Odległość między tymi dwiema prostymi skośnymi, to odległość między dwiema równoległymi ścianami sześcianu, czyli równa jest długości krawędzi sześcianu.

RPdxzg7QkP2T5

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A' B' C' D', w który wpisano czworościan. Krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian bocznych sześcianu.

Zatem bok sześcianu ma długość $\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} a}{2}$ i jest to również odległość między skośnymi krawędziami czworościanu foremnego.

RH6MW8QOw2eoL3

Ćwiczenie 8

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Płaszczyzna symetrii czworościanu foremnego przechodzi przez:

krawędź i tylko jedną wysokość ściany.
krawędź i wysokość czworościanu foremnego.
krawędź i dwie wysokości ścian.
krawędź.

Ćwiczenie 9

Krawędź czworościanu foremnego $A B C S$ jest równa $a$ . Oblicz pole przekroju bryły, który przechodzi przez krawędź $C S$ i środek krawędzi $A B$ .

R18eExzTS5O8A

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C S, gdzie S to wierzchołek górny, krawędzie czworościanu podpisano literą a. W czworościanie zaznaczono trójkąt, składający się z wysokości podstawy, wysokości ściany bocznej i krawędzi ściany bocznej.

Przekrój ten jest trójkątem równoramiennym o podstawie $C S$ długości równej $a$ , oraz ramionach $C D$ oraz $S D$ , których długość jest równa $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ , gdyż obie te długości są wysokościami ścian bocznych czworościanu foremnego (odpowiednio ściany $A B C$ oraz $A B S$ ).

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona (pod kątem prostym) na podstawę dzieli ją na pół.

Stąd wykorzystując tw. Pitagorasa jesteśmy w stanie wyliczyć wysokość $h$ trójkąta $C D S$ , albowiem:

${(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Wyznaczając $h$ z równania otrzymujemy:

$h = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Jak powszechnie wiadomo pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Zatem pole przekroju wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

R1B3DLWKLlsT02

Ćwiczenie 10

Zaznacz poprawną odpowiedź. Łącząc ze sobą środki ciężkości sąsiednich ścian czworościanu foremnego o krawędzi długości $a$ otrzymujemy nowy czworościan foremny o krawędzi długości

$\frac{a}{2}$
$\frac{a \sqrt{3}}{4}$
$\frac{a}{3}$
$\frac{a}{4}$

Animacja 3D

Dla nauczyciela