Przedstawmy sytuację z zadania na rysunku.

RDutZkI2k4HWg

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, krawędzie podstawy mają długość a, a wysokość długość h. Przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{2}$. Z wierzchołków A i C poprowadzono proste o długości p do punktu H. Tworzą one kąt $\alpha$.

Przekrój jest trójkątem równoramiennym, ramię $p=\sqrt{h^2+a^2}$. Korzystając z twierdzenia kosinusów dla trójkąta $ACH$ mamy $2a^2=2p^2-2p^2\cos \alpha$ stąd $a=p\sqrt{1-\cos \alpha }$. Długość wysokości graniastosłupa obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h=\sqrt{p^2-a^2}=\sqrt{p^2-p^2\left(1-\cos \alpha \right)}=p\sqrt{\cos \alpha }$.

Możemy policzyć objętość:

$V=a^{2}h=p^2\left(1-\cos \alpha \right)·p\sqrt{\cos \alpha }=p^3\left(1-\cos \alpha \right)\sqrt{\cos \alpha }$.

Przedstawmy sytuację z zadania na rysunku.

R1BJmPqU0eal6

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, krawędzie podstawy mają długość a, a wysokość długość h. Przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{2}$. Z wierzchołków A i C poprowadzono proste o długości p do punktu S umieszczonego na krawędzi ściany bocznej. Tworzą one kąt $\alpha$. Odcinek SD ma miarę $\frac{1}{3}h$.

Przekrój jest trójkątem równoramiennym, ramię $p=\sqrt{\frac{1}{9}{h}^2+a^2}$. Korzystając z twierdzenia kosinusów dla trójkąta $ACS$ mamy $2a^2=2p^2-2p^2\cos \alpha$, stąd $a=p\sqrt{1-\cos \alpha }$. Długość wysokości graniastosłupa obliczamy korzystając z  twierdzenia Pitagorasa:

$\frac{1}{3}h=\sqrt{p^2-a^2}=\sqrt{p^2-p^2\left(1-\cos \alpha \right)}=p\sqrt{\cos \alpha }$,

stąd

$h=3p\sqrt{\cos \alpha }$.

Możemy policzyć objętość:

$V=a^{2}h=p^2\left(1-\cos \alpha \right)·3p\sqrt{\cos \alpha }=3p^3\left(1-\cos \alpha \right)\sqrt{\cos \alpha }$.