Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

RxIlooePjiHUN1

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości równej pięć. Przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa tworzą kat 30°

Rh41uhlsrfbBB1

Ćwiczenie 2

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

R1cpMG976OJjM

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości równej dwa. krawędź podstawy i przekątna ściany bocznej tworzą kat α. tanα63

R66jYU8m7uAN5

Ćwiczenie 3

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

RnnX0XDHmacID

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości h. Przekątna graniastosłupa spotyka się w jednym wierzchołku z przekątną ściany bocznej i tworzy z nią kąt α=30°. Przekątna ściany bocznej ma miarę cztery.

RYeTjcY798pw8

R9xaBjqt2cGTJ21

Ćwiczenie 4

Łączenie par. Wpisz w odpowiednie miejsca tak lub nie, w zależności od tego czy podane stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe.. Objętość sześcianu o krawędzi

\sqrt{3}

jest równa

3 \sqrt{3}

.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy

5

i wysokości

4

wynosi

100

.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna jest nachylona do podstawy pod kątem

45 °

i wysokości

1

jest równa

\sqrt{2}

.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi

125 \sqrt{2}

, przekątna jest nachylona do podstawy pod kątem

45 °

. Wynika z tego, że wysokość jest równa

5

.. Możliwe odpowiedzi: Tak, Nie

RQkpy1PtniQSE2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. W pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

30 °

. Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi

16 {cm}^{2}

, zatem krawędź podstawy wynosi1.

4 cm

, 2.

\frac{48 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}

, 3.

\frac{4 \sqrt{6}}{3} cm

., 4.

16 \sqrt{2} cm

, 5.

32 {cm}^{2}

, 6.

4 \sqrt{2} cm

, 7.

\frac{48 \sqrt{6}}{3} {cm}^{3}

, a przekątna podstawy 1.

4 cm

, 2.

\frac{48 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}

, 3.

\frac{4 \sqrt{6}}{3} cm

., 4.

16 \sqrt{2} cm

, 5.

32 {cm}^{2}

, 6.

4 \sqrt{2} cm

, 7.

\frac{48 \sqrt{6}}{3} {cm}^{3}

. Wynika stąd, że wysokość tego graniastosłupa jest równa 1.

4 cm

, 2.

\frac{48 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}

, 3.

\frac{4 \sqrt{6}}{3} cm

., 4.

16 \sqrt{2} cm

, 5.

32 {cm}^{2}

, 6.

4 \sqrt{2} cm

, 7.

\frac{48 \sqrt{6}}{3} {cm}^{3}

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 1.

4 cm

, 2.

\frac{48 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}

, 3.

\frac{4 \sqrt{6}}{3} cm

., 4.

16 \sqrt{2} cm

, 5.

32 {cm}^{2}

, 6.

4 \sqrt{2} cm

, 7.

\frac{48 \sqrt{6}}{3} {cm}^{3}

Ćwiczenie 6

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wprowadzono oznaczenia tak jak na rysunku. Przyporządkuj właściwe wzory.

R1OOthlD788nv

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości h. Zaznaczono przekątne podstawy d indeks dolny p koniec indeksu, przekątna graniastosłupa d, oraz przekątna ściany bocznej p. Przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa tworzą kąt α.

RRtuMpBNuwwF9

Ćwiczenie 7

Wybierz prawidłową odpowiedź.

RDWgPIIrsR4XM

RIO3hL4sw2YdT

R1b0HqBnQbTtn

R1ClzFQnNusEV

Ćwiczenie 8

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $16$ . Objętość tego graniastosłupa wynosi $2$ . Jakie wymiary ma ten graniastosłup?

Niech $a$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa, $h$ jego wysokość. Objętość graniastosłupa $V = 2$ oraz z treści zadania wiemy, że $8 a + 4 h = 16$ , więc $h = 4 - 2 a$ . Otrzymujemy zatem $a^{2} (4 - 2 a) = 2$ , gdzie $a \in (0, 2)$ . Rozwiązujemy równanie $- 2 a^{3} + 4 a^{2} = 2$ , stąd $a^{3} - 2 a^{2} + 1 = 0$ , czyli $a = 1 \in (0, 2)$ . Zatem rozważany graniastosłup ma wymiary $a = 1$ , $h = 2$ .

Ćwiczenie 9

Przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przecinają się pod kątem $60 °$ . Do budowy szkieletu tego graniastosłupa zużyto drut długości $32 dm$ . Czy do akwarium o tych samych wymiarach zmieści się w $20$ litrów wody?

Przekątne $d$ graniastosłupa są jednocześnie przekątnymi prostokąta $A B C^{'} D^{″}$ . Niech $a$ oznacza krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa oraz $b$ będzie jego wysokością, wówczas przekątna ściany bocznej jest równa $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Mamy $\sin 30 ° = \frac{a}{d} = \frac{1}{2}$ , stąd $d = 2 a$ , czyli $b = a \sqrt{2}$ . Zatem suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa (szkielet) jest równa $8 a + 4 \sqrt{2} a = 32$ , stąd $a = 4 (2 - \sqrt{2}) dm$ oraz $b = (8 \sqrt{2} - 8) dm$ . Objętość jest równa: $V = 64 \sqrt{2} {(2 - \sqrt{2})}^{3} \approx 18 {dm}^{3}$ .

Nie zmieści się w nim $20$ litrów wody.

Ćwiczenie 10

Do naczynia z sokiem w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości $3$ , wrzucono trzy sześcienne kostki lodu o krawędzi pięć razy mniejszej niż krawędź podstawy naczynia. Objętość mieszaniny soku i lodu wynosiła wówczas $78$ . Ile wynosiła objętość soku przed wrzuceniem kostek lodu?

Niech $5 a$ oznacza długość krawędzi podstawy naczynia, $a$ krawędź kostki lodu. Objętość mieszaniny soku i lodu wynosi $V = 25 a^{2} \cdot 3 + 3 a^{3} = 78$ . Rozwiązujemy równanie $3 a^{3} + 75 a^{2} - 78 = 0$ otrzymujemy, że $a = 1$ . Zatem objętość samego soku $V_{s} - 3 = 75$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela