Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

RxIlooePjiHUN1

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości równej pięć. Przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa tworzą kat 30°

Rh41uhlsrfbBB1

Ćwiczenie 2

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

R1cpMG976OJjM

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości równej dwa. krawędź podstawy i przekątna ściany bocznej tworzą kat α. tanα63

R66jYU8m7uAN5

Ćwiczenie 3

Na rysunku poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

RnnX0XDHmacID

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości h. Przekątna graniastosłupa spotyka się w jednym wierzchołku z przekątną ściany bocznej i tworzy z nią kąt α=30°. Przekątna ściany bocznej ma miarę cztery.

RYeTjcY798pw8

R9xaBjqt2cGTJ21

Ćwiczenie 4

RQkpy1PtniQSE2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz. W pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem trzydzieści stopni. Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi szesnaście cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, zatem krawędź podstawy wynosi1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, a przekątna podstawy 1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego. Wynika stąd, że wysokość tego graniastosłupa jest równa 1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 1. cztery cm, 2. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm., 4. szesnaście pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 5. trzydzieści dwa cm indeks górny, 2, koniec indeksu górnego, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa cm, 7. początek ułamka, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, cm indeks górny, 3, koniec indeksu górnego.

Ćwiczenie 6

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wprowadzono oznaczenia tak jak na rysunku. Przyporządkuj właściwe wzory.

R1OOthlD788nv

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie równej a i wysokości h. Zaznaczono przekątne podstawy d indeks dolny p koniec indeksu, przekątna graniastosłupa d, oraz przekątna ściany bocznej p. Przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa tworzą kąt α.

RRtuMpBNuwwF9

Ćwiczenie 7

Wybierz prawidłową odpowiedź.

RDWgPIIrsR4XM

RIO3hL4sw2YdT

R1b0HqBnQbTtn

R1ClzFQnNusEV

Ćwiczenie 8

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $16$ . Objętość tego graniastosłupa wynosi $2$ . Jakie wymiary ma ten graniastosłup?

Niech $a$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa, $h$ jego wysokość. Objętość graniastosłupa $V = 2$ oraz z treści zadania wiemy, że $8 a + 4 h = 16$ , więc $h = 4 - 2 a$ . Otrzymujemy zatem $a^{2} (4 - 2 a) = 2$ , gdzie $a \in (0, 2)$ . Rozwiązujemy równanie $- 2 a^{3} + 4 a^{2} = 2$ , stąd $a^{3} - 2 a^{2} + 1 = 0$ , czyli $a = 1 \in (0, 2)$ . Zatem rozważany graniastosłup ma wymiary $a = 1$ , $h = 2$ .

Ćwiczenie 9

Przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przecinają się pod kątem $60 °$ . Do budowy szkieletu tego graniastosłupa zużyto drut długości $32 dm$ . Czy do akwarium o tych samych wymiarach zmieści się w $20$ litrów wody?

Przekątne $d$ graniastosłupa są jednocześnie przekątnymi prostokąta $A B C^{'} D^{″}$ . Niech $a$ oznacza krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa oraz $b$ będzie jego wysokością, wówczas przekątna ściany bocznej jest równa $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Mamy $\sin 30 ° = \frac{a}{d} = \frac{1}{2}$ , stąd $d = 2 a$ , czyli $b = a \sqrt{2}$ . Zatem suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa (szkielet) jest równa $8 a + 4 \sqrt{2} a = 32$ , stąd $a = 4 (2 - \sqrt{2}) dm$ oraz $b = (8 \sqrt{2} - 8) dm$ . Objętość jest równa: $V = 64 \sqrt{2} {(2 - \sqrt{2})}^{3} \approx 18 {dm}^{3}$ .

Nie zmieści się w nim $20$ litrów wody.

Ćwiczenie 10

Do naczynia z sokiem w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości $3$ , wrzucono trzy sześcienne kostki lodu o krawędzi pięć razy mniejszej niż krawędź podstawy naczynia. Objętość mieszaniny soku i lodu wynosiła wówczas $78$ . Ile wynosiła objętość soku przed wrzuceniem kostek lodu?

Niech $5 a$ oznacza długość krawędzi podstawy naczynia, $a$ krawędź kostki lodu. Objętość mieszaniny soku i lodu wynosi $V = 25 a^{2} \cdot 3 + 3 a^{3} = 78$ . Rozwiązujemy równanie $3 a^{3} + 75 a^{2} - 78 = 0$ otrzymujemy, że $a = 1$ . Zatem objętość samego soku $V_{s} - 3 = 75$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela