Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją 3D, która przedstawia kąty pomiędzy wysokością czworościanu a jego ścianami bocznymi.

R1EWvuz9RpZ32

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1AlIn71t

Film nawiązujący do treści materiału kątów między ścianą a odcinkiem w czworościanie.

Polecenie 2

Korzystając z powyższej animacji, uzasadnij twierdzenie Vivianiego, które stwierdza, że dla dowolnego punktu wewnątrz trójkąta równobocznego suma odległości tego punktu od boków trójkąta jest stała i równa wysokości tego trójkąta.

RFPPUJ33r341O

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość na bok AC, jest to wysokość h1, a jej spodek podpisano literą E. Z wierzchołka A opuszczono wysokość na bok BC, jest to wysokość h2, a jej spodek podpisano literą F. Z wierzchołka C opuszczono wysokość na bok AB, jest to wysokość h3, a jej spodek podpisano literą G.

Pole trójkąta $A B C$ jest równe sumie pól trójkątów $A B D$ , $A C D$ i $B C D$ . Stąd:

$a h_{1} + a h_{2} + a h_{3} = a \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , czyli $h_{1} + h_{2} + h_{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Polecenie 3

Uzasadnij, że w każdym czworościanie $A B C D$ , w którym podstawa $A B C$ jest trójkątem równobocznym o boku długości $a$ oraz wysokość czworościanu $D E$ ma długość $H$ suma tangensów kątów pomiędzy wysokością $D E$ a ścianami $A B D$ , $A C D$ i $B C D$ jest stała.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1C1ifbQhfFZt

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D. W ostrosłupie zaznaczono wysokości opuszczone z wierzchołka D odpowiednio na boki BC, AB oraz AC, zaznaczono również wysokość opuszczoną na ścianę A B C, jej spodek podpisano literą E. Odcinek od wysokości ostrosłupa do wysokości ściany B C D podpisano h1. Odcinek od wysokości ostrosłupa do wysokości ściany A B D podpisano h2. Odcinek od wysokości ostrosłupa do wysokości ściany A C D podpisano h3. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany B C D podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany B C D podpisano literą alfa. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany A B D podpisano literą beta. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany A C D podpisano literą gamma.

Skorzytamy z twierdzenia Vivianiego dla punktu $E$ . Zatem $h_{1} + h_{2} + h_{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Wyznaczmy sumę tangensów

$tg α + tg β + tg γ = \frac{h_{1}}{H} + \frac{h_{2}}{H} + \frac{h_{3}}{H} = \frac{h_{1} + h_{2} + h_{3}}{H} = \frac{a \sqrt{3}}{2 H}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się