Przeczytaj

Przypomnijmy, jakie może być wzajemnie położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni. Prosta może być równoległa do płaszczyzny. Powiemy wtedy, że kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną jest równy $0 °$ . Prosta może być również prostopadła do płaszczyzny, czyli kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną wynosi $90 °$ . W trzecim przypadku prosta przecina płaszczyznę pod innym kątem niż prosty. Aby wyznaczyć miarę takiego kąta, wyznaczamy rzut prostokątny prostej na płaszczyznę oraz wyznaczamy kąt pomiędzy prostą a tym rzutem.

R1FJBK7I2yyra

Ilustracja przedstawia trzy przypadki wzajemnego położenia prostej i płaszczyzny. Pierwszy z nich przedstawia przypadek gdy prosta jest prostopadła do płaszczyzny, czyli α=90°. Rysunek przedstawia płaszczyznę E oraz prostą p lezącą w płaszczyźnie, która przecina płaszczyznę E. Płaszczyzna ta wyznacza linię na płaszczyźnie E. Prosta p przecina płaszczyznę E w punkcie M kąt pomiędzy prostą p, a linią przecięcia się na płaszczyźnie E jest kątem prostym. Drugi z nich przedstawia przypadek gdy prosta jest równoległa do płaszczyzny, czyli α=0°. Rysunek przedstawia płaszczyznę E oraz prostą p lezącą w płaszczyźnie, która przecina płaszczyznę E. Płaszczyzna ta wyznacza linię na płaszczyźnie E. Prosta p jest równoległa do linii znajdującej się na płaszczyźnie E, którą podpisano p prim. Trzeci z nich przedstawia przypadek gdy prosta jest pod kątem ostrym do płaszczyzny, czyli <math">0°<α<90°. Rysunek przedstawia płaszczyznę E oraz prostą p lezącą w płaszczyźnie, która przecina płaszczyznę E. Płaszczyzna ta wyznacza linię na płaszczyźnie E, którą podpisano p prim. Prosta p jest przecina płaszczyznę E, a kąt pomiędzy prostą p i linią p prim podpisano literą alfa.

Wyznaczanie kąta pomiędzy odcinkiem a płaszczyzną w czworościanie sprowadza się do wyznaczenia kąta nachylenia prostej zawierającej dany odcinek do tej płaszczyznykąta nachylenia prostej zawierającej dany odcinek do tej płaszczyzny.

R1YE1wkG7BBqS

Ilustracja przedstawia płaszczyznę, którą podpisano jako ścianę bryły. Na płaszczyźnie znajduje się punkt A. Nad płaszczyzną znajduje się punkt B. Punkty A oraz B tworzą odcinek. Punkt B zrzutowano na płaszczyznę, punkt znajdujący się na płaszczyźnie podpisano B'. Odcinek AB' podpisano: rzut prostokątny. Kąt BAB' podpisano literą alfa. Pod spodem znajduje się napis: Kąt alfa pomiędzy odcinkiem AB a ścianą bryły.

Przykład 1

Wyznaczymy miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian czworościanu foremnego.

Rozwiązanie:

Przyjrzymy się czworościanowi foremnemu.

R14gFOzjxvVMh

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D , którego krawędź ma długość a. Wysokość opuszczono z wierzchołka D na ścianę A B C, jej długość wynosi H, a spodek wysokości podpisano literą E. Z wierzchołka A na krawędź BC opuszczono wysokość, jej spodek podpisano literą F. Odcinek AE ma długość 23h. Kąt FAD podpisano literą alfa.

Zauważmy, że ze względu na symetrie czworościanu foremnego nie ma znaczenia, którą krawędź będziemy rozważać. Przyjrzymy się krawędzi $A D$ . Krawędź ta zawarta jest w ścianach $A B D$ i $A C D$ , czyli prosta $A D$ jest równoległa do płaszczyzny $A B D$ i $A C D$ . Stąd miary kątów pomiędzy krawędzią $A D$ a każdą ze ścian $A B D$ i $A C D$ są równe $0 °$ .

Pozostały do rozpatrzenia kąty pomiędzy krawędzią $A D$ a każdą ze ścian $A B C$ i $B C D$ . Ponownie, ze względu na symetrie czworościanu foremnego, kąty te są przystające. Rzutem prostokątnym krawędzi $A D$ na płaszczyznę $A B C$ jest odcinek $A E$ zawarty w wysokość $A F$ trójkąta $A B C$ .

Rozważmy kąt $D A E$ . Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , czyli $|A E| = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Z trójkąta prostokątnego $A E D$ otrzymujemy $\cos α = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0, 5774$ .

Z tablic funkcji trygonometrycznych odczytujemy $α \approx 55 °$ , czyli miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian $A B C$ i $C B D$ wynoszą około $55 °$ .

Przykład 2

Wyznaczymy miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Rozwiązanie:

Przyjrzymy się ostrosłupowi prawidłowemu trójkątnemu, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

RxC4VfIrSmUXw

Ilustracja przedstawia czworościan o wierzchołkach A B C D , krawędzie AB, BC oraz AC mają długość a, krawędzie AD, BD i CD mają długość 2a. Wysokość opuszczono z wierzchołka D na ścianę A B C, jej długość wynosi H, a spodek wysokości podpisano literą E. Z wierzchołka A na krawędź BC opuszczono wysokość h1, jej spodek podpisano literą F. Z wierzchołka D opuszczono wysokość h2 na bok BC, jej spodek pokrywa się ze spodkiem F. Kąt FAD podpisano literą alfa. Kąt FDA podpisano literą beta.

Zauważmy, że ze względu na symetrię ostrosłupa prawidłowego nie ma znaczenia, którą krawędź boczną będziemy rozważać. Przyjrzymy się krawędzi $A D$ .

Krawędź ta zawarta jest w ścianach $A B D$ i $A C D$ , czyli miary kątów pomiędzy krawędzią $A D$ a każdą ze ścian $A B D$ i $A C D$ wynoszą $0 °$ .

Pozostały do rozpatrzenia kąty pomiędzy krawędzią $A D$ a każdą ze ścian $A B C$ i $B C D$ . Rzutem prostokątnym krawędzi $A D$ na płaszczyznę $A B C$ jest odcinek $A E$ zawarty w wysokości $A F$ trójkąta $A B C$ . Rzut prostokątny wierzchołka $A$ na płaszczyznę $B C D$ zawiera się w wysokości $D F$ trójkąta $B C D$ . Stąd rzut krawędzi $A D$ na płaszczyznę $B C D$ zawarty jest w prostej $D F$ .

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $h_{1} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , czyli $|A E| = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Z trójkąta prostokątnego $C F D$ otrzymujemy $|D F| = \sqrt{4 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{15} a}{2}$ .

Z trójkąta prostokątnego $A E D$ otrzymujemy $\cos α = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{2 a} = \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0, 2887$ .

Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta $A F D$ , otrzymujemy:

$\frac{3 a^{2}}{4} = 4 a^{2} + \frac{15 a^{2}}{4} - 2 \sqrt{15} a^{2} \cos β$

$2 \sqrt{15} a^{2} \cos β = 7 a^{2}$

$\cos β = \frac{7 \sqrt{15}}{30} \approx 0, 9037$ .

Zatem $α \approx 73 °$ i $β \approx 25 °$ , czyli miara kąta pomiędzy krawędzią $A D$ a płaszczyzną podstawy $A B C$ wynosi około $73 °$ . Natomiast miara kąta pomiędzy krawędzią $A D$ a ścianą $B C D$ jest równa około $25 °$ .

Przykład 3

Dany jest czworościan $A B C D$ , w którym wysokość $D E$ ma długość $H$ . Kąty pomiędzy tą wysokością a ścianami $A B D$ , $A C D$ i $B C D$ wynoszą odpowiednio $α$ , $β$ i $γ$ . Wyznaczymy odległości spodka wysokości $E$ od ścian $A B D$ , $A C D$ i $B C D$ .

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć odległość punktu $E$ od płaszczyzny $A B D$ należy wyznaczyć rzut prostokątny tego punktu na tę płaszczyznęrzut prostokątny tego punktu na tę płaszczyznę. Oznaczmy go przez $F$ . Odcinek $D F$ jest więc rzutem prostokątnym odcinka $D E$ na płaszczyznę $A B D$ . Stąd kąt $E D F$ jest kątem pomiędzy wysokością $D E$ a płaszczyzną $A B D$ .

RniLFKBAfUvYD

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D , krawędzie AB, BC orz AC mają długość a, krawędzie AD, BD i CD mają długość 2a. Wysokość opuszczono z wierzchołka D na ścianę A B C, jej długość wynosi H, a spodek wysokości podpisano literą E. Z wierzchołka A na krawędź BC opuszczono wysokość h1, jej spodek podpisano literą F. Z wierzchołka D opuszczono wysokość h2 na bok BC, jej spodek pokrywa się ze spodkiem F. Kąt FAD podpisano literą alfa. Kąt FDA podpisano literą beta. Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D. Wysokość opuszczono z wierzchołka D na ścianę A B C, jej długość wynosi H, a spodek wysokości podpisano literą E. Jest ona narysowana linią przerywaną. Na krawędzi AB znajduje się punkt G, z wierzchołka D poprowadzono linię przerywaną do tego punktu. Kąt GDE podpisano literą alfa. Ze spodka E poprowadzono linię do punktu G oraz linię do punktu E. Odcinek FE jest pod kątem prostym do odcinka DG.

Z trójkąta prostokątnego $D F E$ wyznaczamy: $\frac{|E F|}{H} = \sin α$ , czyli $|E F| = H \sin α$ . W analogiczny sposób wyznaczamy odległości punktu $E$ od każdej ze ścian $A C D$ i $B C D$ , które wynoszą odpowiednio $H \sin β$ i $H \sin γ$ .

Przykład 4

Dany jest czworościan $A B C D$ , w którym wysokość $D E$ ma długość $H$ . Odległość spodka wysokości $E$ od ściany $A B D$ wynosi $d$ . Wyznaczymy odległość punktu $E$ od prostej $A B$ .

Rozwiązanie:

Niech $D F$ będzie rzutem prostokątnym odcinka $D E$ na płaszczyznę $A B D$ , a $G$ rzutem prostokątnym punktu $E$ na prostą $A B$ . Wtedy punkty $D$ , $F$ i $G$ leżą na jednej prostej, gdyż płaszczyzna $D E F$ jest prostopadła do płaszczyzny $A B D$ .

RyRJP7nTP4iS7

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D. Wysokość opuszczono z wierzchołka D na ścianę A B C, jej długość wynosi H, a spodek wysokości podpisano literą E. Jest ona narysowana linią przerywaną. Na krawędzi AB znajduje się punkt G, z wierzchołka D poprowadzono linię przerywaną do tego punktu. Kąt GDE podpisano literą alfa. Ze spodka E poprowadzono linię do punktu G oraz linię do punktu E. Odcinek FE jest pod kątem prostym do odcinka DG. Kąt EGF podpisano literą beta.

Ponieważ $α + β = 90 °$ , więc kąt $F E G$ na miarę $α$ a kąt $D E F$ ma miarę $β$ . Z trójkąta prostokątnego $D F E$ otrzymujemy $|D F| = \sqrt{H^{2} - d^{2}}$ . Z podobieństwa trójkątów $E F G$ i $D F E$ (cecha kkk) otrzymujemy: $\frac{d}{|E G|} = \frac{\sqrt{H^{2} - d^{2}}}{H}$ , czyli $|E G| = \frac{d H}{\sqrt{H^{2} - d^{2}}}$ .

Ciekawostka

W czworościanie foremnym suma odległości dowolnego punktu wewnątrz tego czworościanu od jego czterech ścian jest równa wysokości czworościanu.

Weźmy dowolny punkt $E$ wewnątrz czworościanu foremnego $A B C D$ . Suma objętości czterech czworościanów $A B C E$ , $A B D E$ , $A C D E$ i $B C D E$ jest równa objętości czworościanu $A B C D$ . Odległość punktu $E$ od ścian $A B C$ , $A B D$ , $A C D$ i $B C D$ oznaczmy $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ i $d_{4}$ , odpowiednio. Odległości te są wysokościami czworościanów $A B C E$ , $A B D E$ , $A C D E$ i $B C D E$ , odpowiednio.

Jeżeli $P$ oznacza pole ściany czworościanu $A B C D$ a $H$ jego wysokość, to:

\frac{1}{3} P d_{1} + \frac{1}{3} P d_{2} + \frac{1}{3} P d_{3} + \frac{1}{3} P d_{4} = \frac{1}{3} P H

czyli

d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4} = H

Słownik

rzut prostokątny punktu

P

na płaszczyznę

rzut prostokątny punktu

P

na płaszczyznę

punkt, w którym prosta przechodząca przez punkt $P$ i prostopadła do tej płaszczyzny przecina tę płaszczyznę

kąt nachylenia prostej

p

do płaszczyzny

kąt nachylenia prostej

p

do płaszczyzny

kąt ostry zawarty między prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik