Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, zgodnie z danymi zadania.

R1YmdoGYOvuMt

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długość a oraz dwa a. Wysokość prostopadłościanu ma długość dwanaście. W prostopadłościanie zaznaczona została przekątna prostopadłościanu oraz przekątna podstawy. Przekątne mają wspólny wierzchołek przy dolnej podstawie. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d, a przekątna podstawy literą x. Pomiędzy przekątnymi zaznaczony został kąt alfa.

Ponieważ sinus kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy jest równy $\frac{3}{4}$, zatem zachodzi zależność:

$\frac{3}{4}=\frac{12}{d}$, czyli $d=16$.

Z twierdzenia Pitagorasa zachodzi zależność:

$x^2+{12}^2={16}^2$

$x^2+144=256$

$x^2=112$

$x=4\sqrt{7}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długości krawędzi podstawy prostopadłościanu:

$a^2+{\left(2a\right)}^2={\left(4\sqrt{7}\right)}^2$

$a^2+4a^2=112$

$5a^2=112$

$a^2=\frac{112}{5}\Rightarrow a=\sqrt{\frac{112}{5}}=\frac{4\sqrt{35}}{5}$

$2a=\frac{8\sqrt{35}}{5}$

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe:

$P=2·\frac{4\sqrt{35}}{5}·\frac{8\sqrt{35}}{5}+2·\frac{4\sqrt{35}}{5}·12+2·\frac{8\sqrt{35}}{5}·12=$

$=\frac{2240}{25}+\frac{96\sqrt{35}}{5}+\frac{192\sqrt{35}}{5}=\frac{448+288\sqrt{35}}{5}$