Dany jest prostopadłościan, którego krawędzie podstawy są równe $a=5 \mathrm{cm}$ i $b=10 \mathrm{cm}$, a jego wysokość wynosi $h=10 \mathrm{cm}$. Obliczymy pole powierzchni tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie

Dla czytelności zapisu w obliczeniach pominiemy jednostki.

Pole powierzchni prostopadłościanu obliczamy wykorzystując poznany wzór:

$P=2·a·b+2·a·h+2·b·h$.

Po podstawieniu:

$P=2·5·10+2·5·10+2·10·10$.

$P=400 {\mathrm{cm}}^2$.

Pole powierzchni prostopadłościanu wynosi zatem $400$ centymetrów kwadratowych.

Pamiętajmy, że obliczanie powierzchni zawsze wiąże się z obecnością jednostek kwadratowych.

Pole powierzchni pewnego prostopadłościanu wynosi $76 {\mathrm{cm}}^2$. Wysokość prostopadłościanu wynosi $h=5 \mathrm{cm}$, a jedna z krawędzi podstawy jest równa $a=4 \mathrm{cm}$. Obliczymy długość drugiej krawędzi podstawy prostopadłościanu.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $b$ długość drugiej krawędzi podstawy prostopadłościanu.

Do rozwiązania zadania wykorzystamy wzór na pole powierzchni prostopadłościanu:

$P=2·a·b+2·a·h+2·b·h$.

Po podstawieniu:

$76=2·4·\mathrm{b}+2·4·5+2·\mathrm{b}·5$

$76=8\mathrm{b}+40+10\mathrm{b}$

$36=18b$

$b=2 \mathrm{cm}$.

Druga krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość $2$ centymetry.

W prostopadłościanie o objętości $648$ stosunek długości krawędzi jest równy $2:3:4$. Obliczymy pole powierzchni tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie

Jeżeli stosunek długości krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $2:3:4$, to długości tych krawędzi można wyrazić za pomocą liczb $2x$, $3x$, $4x$.

Jeżeli objętość tego prostopadłościanu jest równa $648$, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$2x·3x·4x=648$

$24x^3=648$

$x^3=27$

$x=3$.

Zatem długości krawędzi tego prostopadłościanu wynoszą odpowiednio: $6$, $9$, $12$.

Wobec tego pole powierzchni prostopadłościanu jest równe:

$P=2·6·9+2·6·12+2·9·12=108+144+216=468$.

Obliczymy pole powierzchni prostopadłościanu z rysunku, mając daną jego wysokość $h$, kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy o mierze $60°$ oraz wiedząc o tym, że jedna z krawędzi podstawy prostopadłościanu jest dwa razy krótsza od przekątnej podstawy.

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1Rdm6N7Dp5g9

Grafika przedstawia prostopadłościan. Krawędzie podstawy prostopadłościanu są podpisane literami a oraz b. Wysokość prostopadłościanu jest podpisana literą h. W prostopadłościanie zaznaczona została przekątna prostopadłościanu oraz przekątna podstawy. Przekątna podstawy prostopadłościanu jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy tymi przekątnymi ma wartość 60 stopni. Kąt pomiędzy przekątną podstawy a krawędzią boczną to kąt prosty.

Z faktu, że kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny jego podstawy ma miarę $60°$ otrzymujemy, że:

$h=x\sqrt{3}$, czyli $x=\frac{h\sqrt{3}}{3}$.

Ponieważ $a=\frac{x}{2}$, zatem:

$a=\frac{x}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{h\sqrt{3}}{3}}}{2}=\frac{h\sqrt{3}}{6}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość krawędzi $b$:

$a^2+b^2=x^2$

${\left(\frac{h\sqrt{3}}{6}\right)}^2+b^2={\left(\frac{h\sqrt{3}}{3}\right)}^2$

$\frac{3h^2}{36}+b^2=\frac{3h^2}{9}$

$b^2=\frac{h^2}{4}\Rightarrow b=\frac{h}{2}$

Wobec tego pole powierzchni prostopadłościanu jest równe:

$P=2·\frac{h\sqrt{3}}{6}·\frac{h}{2}+2·\frac{h\sqrt{3}}{6}·h+2·\frac{h}{2}·h=$

$=\frac{h^2\sqrt{3}}{6}+\frac{h^2\sqrt{3}}{12}+h^2=\frac{h^2·\left(\sqrt{3}+4\right)}{4}$

W prostopadłościanie o podstawie kwadratowej i polu powierzchni równym $160$, krawędź podstawy jest o $4$ jednostki krótsza od krawędzi bocznej. Obliczymy długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RlhkbRYX7D7Wy

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Obie krawędzie podstawy prostopadłościanu są podpisane literą x. Wysokość prostopadłościanu ma długość $x+4$. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d.

Ponieważ pole powierzchni prostopadłościanu jest równe $160$, to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:

$2·x^2+4·x·\left(x+4\right)=160$.

$2x^2+4x^2+16x-160=0$

$6x^2+16x-160=0$

$3x^2+8x-80=0$

$x_1=\frac{-8-32}{6}=-\frac{20}{3}$

$x_2=\frac{-8+32}{6}=\frac{24}{6}=4$.

Zatem krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość $4$, a krawędź boczna ma długość $8$.

Wobec tego przekątna prostopadłościanu ma długość:

$d=\sqrt{4^2+4^2+8^2}=\sqrt{16+16+64}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$.

Pole powierzchni prostopadłościanu, w którym jedna z krawędzi podstawy jest trzy razy dłuższa od drugiej, jest cztery razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Obliczymy cosinus kąta zawartego między przekątną tego prostopadłościanu, a jego krawędzią boczną.

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R4ILIit9akV8I

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długość a oraz trzy a. Wysokość prostopadłościanu jest podpisana literą h. W prostopadłościanie zaznaczona została przekątna prostopadłościanu oraz przekątna podstawy. Przekątne mają wspólny wierzchołek przy dolnej podstawie. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d, a przekątna podstawy literą x. Pomiędzy przekątną prostopadłościanu a krawędzią boczną h zaznaczony został kąt alfa.

Z warunku podanego w zadaniu zachodzi zależność:

$P_c=4·P_b$

Zatem

$2·P_p+P_b=4·P_b$

$2·a·3a+2·a·h+2·3a·h=4·\left(2·a·h+2·3a·h\right)$

$6a^2+2ah+6ah=8ah+24ah$

$6a^2=24ah\Rightarrow a=4h\Rightarrow h=\frac{a}{4}$

Jeżeli wykorzystamy wzór na przekątną prostopadłościanu, to:

$d=\sqrt{a^2+{\left(3a\right)}^2+{\left(\frac{a}{4}\right)}^2}=\sqrt{a^2+9a^2+\frac{a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{161}}{4}$

Cosinus kąta między przekątną prostopadłościanu, a jego krawędzią boczną jest równy:

$\cos \alpha =\frac{h}{d}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{4}}}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{161}}{4}}}=\frac{\sqrt{161}}{161}$

równoległościan, którego wszystkie ściany są prostokątami

miara, która opisuje wielkość figury geometrycznej