Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RzPlXUt2T6WYm1

Ćwiczenie 1

RIPbmQfn2k9591

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan o podanej długości przekątnej. Wiadomo, że $\cos α = \frac{3}{4}$ .

R6XV4W3ErAEFP

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długość a oraz trzy a. W prostopadłościanie zaznaczona została przekątna prostopadłościanu oraz przekątna podstawy. Przekątne mają wspólny wierzchołek przy dolnej podstawie. Przekątna prostopadłościanu ma długość szesnaście. Pomiędzy przekątnymi zaznaczony został kąt alfa.

RPmsSxbEjsFq7

Na podstawie rysunku wstaw w tekst odpowiednie liczby. Przekątna podstawy prostopadłościanu ma długość 1. dwanaście, 2. początek ułamka, osiemnaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterysta trzydzieści dwa, plus, sto dziewięćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sto dziewięćdziesiąt dwa, plus, czterysta trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem.
Krawędź krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość 1. dwanaście, 2. początek ułamka, osiemnaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterysta trzydzieści dwa, plus, sto dziewięćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sto dziewięćdziesiąt dwa, plus, czterysta trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem.
Dłuższa krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość 1. dwanaście, 2. początek ułamka, osiemnaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterysta trzydzieści dwa, plus, sto dziewięćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sto dziewięćdziesiąt dwa, plus, czterysta trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem.
Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość 1. dwanaście, 2. początek ułamka, osiemnaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterysta trzydzieści dwa, plus, sto dziewięćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sto dziewięćdziesiąt dwa, plus, czterysta trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem.
Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe 1. dwanaście, 2. początek ułamka, osiemnaście pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterysta trzydzieści dwa, plus, sto dziewięćdziesiąt dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć pierwiastek kwadratowy z dziesięć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, sto dziewięćdziesiąt dwa, plus, czterysta trzydzieści dwa pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem.

Ćwiczenie 4

RHNJFfmVf20fS

R14I6Mt131I1W

Ćwiczenie 5

R19YiUfb3meZt

Rzt26FNVmCG4d

Ćwiczenie 6

Wysokość prostopadłościanu ma długość $8$ . Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu, jeżeli stosunek krawędzi podstawy wynosi $2 : 3$ , a objętość jest równa $192$ .

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1Sqdni5kJCjt

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długość dwa x oraz trzy x. Wysokość prostopadłościanu ma długość 8.

Jeżeli objętość prostopadłościanu jest równa $192$ , to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$2 x \cdot 3 x \cdot 8 = 192$

$6 x^{2} = 24$

$x = 2$ .

Zatem krawędzie podstawy mają długości $4$ i $6$ .

Wobec tego pole powierzchni prostopadłościanu jest równe:

$P = 2 \cdot 4 \cdot 6 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + 2 \cdot 6 \cdot 8 = 48 + 64 + 96 = 208$ .

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $568$ . Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu wynosi $3 : 5 : 7$ . Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Jeżeli stosunek długości krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu wynosi $3 : 5 : 7$ , to długości krawędzi możemy opisać następująco: $3 x$ , $5 x$ , $7 x$ .

Korzystając ze wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu rozwiązujemy równanie:

$2 \cdot 3 x \cdot 5 x + 2 \cdot 3 x \cdot 7 x + 2 \cdot 5 x \cdot 7 x = 568$

$30 x^{2} + 42 x^{2} + 70 x^{2} = 568$

$142 x^{2} = 568$

$x^{2} = 4$ .

$x = 2$ .

Zatem długości krawędzi prostopadłościanu wynoszą odpowiednio: $6$ , $10$ , $14$ .

Długość przekątnej $d$ tego prostopadłościanu wynosi:

$d = \sqrt{6^{2} + 10^{2} + 14^{2}} = \sqrt{36 + 100 + 196} = \sqrt{332} = 2 \sqrt{83}$ .

Ćwiczenie 8

W prostopadłościanie o podstawie będącej kwadratem, przekątna podstawy ma długość $10$ i tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy $\frac{2}{5}$ .

Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.

Narysujmy prostopadłościan, wprowadźmy oznaczenia i zaznaczmy odpowiedni kąt.

RnsRnMYo4X8Mm

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Obie krawędzie podstawy prostopadłościanu są podpisane literą a. W prostopadłościanie zaznaczona została przekątna ściany bocznej prostopadłościanu oraz przekątna podstawy. Przekątne mają wspólny wierzchołek przy dolnej podstawie. Przekątna ściany bocznej prostopadłościanu jest podpisana literą x. Pomiędzy przekątnymi zaznaczony został kąt alfa.

Zauważmy, że jeśli dorysujemy przekątną tylnej ściany prostopadłościanu, to otrzymamy trójkąt równoramienny o bokach długości $a \sqrt{2}$ , $x$ , $x$ i kącie ostrym przy podstawie $α$ .

RWghxe46g0DHn

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Oba ramiona trójkąta są podpisane literą x. Podstawa trójkąta ma długość 10. Kąt pomiędzy podstawą a ramieniem jest podpisany jako alfa. W trójkącie zaznaczona została jego wysokość, która jest pod kątem prostym do podstawy.

Do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia cosinusów:

$x^{2} = 10^{2} + x^{2} - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \frac{2}{5}$ .

Zatem:

$100 = 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \frac{2}{5}$

$x = \frac{25}{2}$ .

Zauważmy, że $a \sqrt{2} = 10$ , czyli $a = 5 \sqrt{2}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość krawędzi $h$ :

$a^{2} + h^{2} = x^{2}$

${(5 \sqrt{2})}^{2} + h^{2} = {(\frac{25}{2})}^{2}$

$h^{2} = \frac{625}{4} - 50 = \frac{625 - 200}{4} = \frac{425}{4}$

$h = \frac{5 \sqrt{17}}{2}$

Pole powierzchni rozpatrywanego prostopadłościanu jest równe:

$P = 2 a^{2} + 4 a h$

$P = 2 \cdot {(5 \sqrt{2})}^{2} + 4 \cdot 5 \sqrt{2} \cdot \frac{5 \sqrt{17}}{2} = 100 + 50 \sqrt{34}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela