Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1Sqdni5kJCjt

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długość dwa x oraz trzy x. Wysokość prostopadłościanu ma długość 8.

Jeżeli objętość prostopadłościanu jest równa $192$, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$2x·3x·8=192$

$6x^2=24$

$x=2$.

Zatem krawędzie podstawy mają długości $4$ i $6$.

Wobec tego pole powierzchni prostopadłościanu jest równe:

$P=2·4·6+2·4·8+2·6·8=48+64+96=208$.

Jeżeli stosunek długości krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu wynosi $3:5:7$, to długości krawędzi możemy opisać następująco: $3x$, $5x$, $7x$.

Korzystając ze wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu rozwiązujemy równanie:

$2·3x·5x+2·3x·7x+2·5x·7x=568$

$30x^2+42x^2+70x^2=568$

$142x^2=568$

$x^2=4$.

$x=2$.

Zatem długości krawędzi prostopadłościanu wynoszą odpowiednio: $6$, $10$, $14$.

Długość przekątnej $d$ tego prostopadłościanu wynosi:

$d=\sqrt{6^2+{10}^2+{14}^2}=\sqrt{36+100+196}=\sqrt{332}=2\sqrt{83}$.

Narysujmy prostopadłościan, wprowadźmy oznaczenia i zaznaczmy odpowiedni kąt.

RnsRnMYo4X8Mm

Ilustracja przedstawia prostopadłościan. Obie krawędzie podstawy prostopadłościanu są podpisane literą a. W prostopadłościanie zaznaczona została przekątna ściany bocznej prostopadłościanu oraz przekątna podstawy. Przekątne mają wspólny wierzchołek przy dolnej podstawie. Przekątna ściany bocznej prostopadłościanu jest podpisana literą x. Pomiędzy przekątnymi zaznaczony został kąt alfa.

Zauważmy, że jeśli dorysujemy przekątną tylnej ściany prostopadłościanu, to otrzymamy trójkąt równoramienny o bokach długości $a\sqrt{2}$, $x$, $x$ i kącie ostrym przy podstawie $\alpha$.

RWghxe46g0DHn

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Oba ramiona trójkąta są podpisane literą x. Podstawa trójkąta ma długość 10. Kąt pomiędzy podstawą a ramieniem jest podpisany jako alfa. W trójkącie zaznaczona została jego wysokość, która jest pod kątem prostym do podstawy.

Do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia cosinusów:

$x^2={10}^2+x^2-2·10·x·\frac{2}{5}$.

Zatem:

$100=2·10·x·\frac{2}{5}$

$x=\frac{25}{2}$.

Zauważmy, że $a\sqrt{2}=10$, czyli $a=5\sqrt{2}$.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość krawędzi $h$:

$a^2+h^2=x^2$

${\left(5\sqrt{2}\right)}^2+h^2={\left(\frac{25}{2}\right)}^2$

$h^2=\frac{625}{4}-50=\frac{625-200}{4}=\frac{425}{4}$

$h=\frac{5\sqrt{17}}{2}$

Pole powierzchni rozpatrywanego prostopadłościanu jest równe:

$P=2a^2+4ah$

$P=2·{\left(5\sqrt{2}\right)}^2+4·5\sqrt{2}·\frac{5\sqrt{17}}{2}=100+50\sqrt{34}$.