Przeanalizuj dokładnie poniższą animację 3D. Zastanów się, dysponując jakimi danymi można wyznaczyć długości odpowiednich odcinków i ostatecznie miarę kąta dwuściennego pomiędzy ścianami bocznymi w czworościanie.
R1JSqXgvHKtTQ
Polecenie 2
Wyznacz miarę kąta dwuściennego pomiędzy dwiema ścianami czworościanu foremnego.
Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:
RqjVfH7OVOzq3
Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy , więc .
Odpowiedź:
Ten kąt ma miarę .
Polecenie 3
W czworościanie kąty płaskie , i mają miarę , gdzie . Wykaż, że cosinus kąta dwuściennego pomiędzy sąsiednimi ścianami wynosi .
Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:
R1SMvCugUo9E8
Na krawędzi (lub jej przedłużeniu) wybieramy punkt , taki że . Na krawędzi wybieramy punkt , że odcinek jest prostopadły do krawędzi . Podobnie wybieramy punkt na krawędzi , tak że odcinek jest prostopadły do krawędzi . Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy: i . Trójkąt jest przystający do trójkąta (cecha kąt‑bok‑kąt). Stąd i .
Stosujemy twierdzenie cosinusów dla trójkąta :
.
Oznaczmy kąt przez . Stosujemy twierdzenie cosinusów dla trójkąta :