Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

RqjVfH7OVOzq3

Na ilustracji przedstawiono czworościan o długości krawędzi oznaczonej literą a. Z wierzchołka A opuszczono wysokość trójkąta, znajdującego się w podstawie, której spodek znajduje się w punkcie E na boku $BC$. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ostrosłupa, której spodek leży w punkcie F na wysokości $AE$ podstawy. Z wierzchołka D opuszczono również wysokość ściany bocznej do punktu E i oznaczono ją literą h. Długość odcinka $FE$ wynosi $\frac{1}{3}h$. $\angle DEF$ oznaczono alfa.

Z trójkąta prostokątnego $DEF$ otrzymujemy $\cos \alpha =\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}h}}{h}=\frac{1}{3}$, więc $\alpha \approx 71°$.

Odpowiedź:

Ten kąt ma miarę $\alpha \approx 71°$.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

R1SMvCugUo9E8

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie $ABC$ i wierzchołku D. Kąty $BAD$, $CAD$ I $CAB$ oznaczono alfa. Na krawędzi $AD$ zaznaczono punkt F, na krawędzi $AB$ zaznaczono punkt E oraz na krawędzi $AC$ punkt G, takie że kąty $EFD$ i $GFA$ są kątami prostymi.

Na krawędzi $AB$ (lub jej przedłużeniu) wybieramy punkt $E$, taki że $\left|AE\right|=1$.
Na krawędzi $AD$ wybieramy punkt $F$, że odcinek $EF$ jest prostopadły do krawędzi $AD$. Podobnie wybieramy punkt $G$ na krawędzi $AC$, tak że odcinek $GF$ jest prostopadły do krawędzi $AD$. Z trójkąta prostokątnego $AFE$ otrzymujemy: $\left|EF\right|=\sin \alpha$ i $\left|AF\right|=\cos \alpha$.
Trójkąt $AFG$ jest przystający do trójkąta $AFE$ (cecha kąt‑bok‑kąt). Stąd $\left|GF\right|=\sin \alpha$ i $\left|AG\right|=1$.

Stosujemy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $AEG$:

${\left|EG\right|}^2=2-2\cos \alpha =2\left(1-\cos \alpha \right)=2\left(\cos 0-\cos \alpha \right)=4{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$.

Oznaczmy kąt $EFG$ przez $\beta$. Stosujemy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $EFG$:

$4{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=2{\sin }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha \cos \beta$,

$2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}={\sin }^2\alpha \left(1-\cos \beta \right)$,

$2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=4{\sin }^2\frac{\alpha }{2}{\cos }^2\frac{\alpha }{2}\left(1-\cos \beta \right)$,

$1-\cos \beta =\frac{1}{2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}$,

$\cos \beta =1-\frac{1}{2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}$.

Odpowiedź:

$\cos \beta =1-\frac{1}{2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}$