Przeczytaj
Przypomnijmy, że w celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianami (zwanego kątem dwuściennymkątem dwuściennym) znajdujemy najpierw wspólną krawędź tych dwóch ścian. Następnie do wybranego punktu na tej krawędzi prowadzimy dwa odcinki, jeden zawarty w pierwszej ścianie, drugi – w drugiej, tak aby były one prostopadłe do tej krawędzi. Kąt pomiędzy tymi odcinkami to kąt liniowy kąta dwuściennego (czyli kąt pomiędzy tymi ścianami).
![Ilustracja przedstawia kąt między dwoma sąsiadującymi ze sobą ścianami w kształcie prostokątów o wspólnej krawędzi, tak że ramiona kąta zaznaczone czerwonym kolorem są zawarte w każdej ścianie oraz są prostopadłe do tej krawędzi.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rfds94yjxRncQ/1639582598/nRBogNv7ecjEE6Jq1Fg6NZDRSerylTUG.png)
Zastanówmy się, czy zawsze z trójkąta równobocznego o boku długości i trzech trójkątów równoramiennych o podstawie długości i ramionach długości możemy zbudować ostrosłup prawidłowy trójkątny. Zauważmy, że spodek wysokości takiego ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym. Zatem, aby można było złożyć z tych trójkątów ostrosłup, to długość krawędzi bocznej musi być dłuższa od dwóch trzecich długości wysokości podstawy:
Wyznaczymy kąty pomiędzy ścianami tego ostrosłupa.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej wyznaczymy kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono literą b. Z wierzchołka A opuszczono wysokość trójkąta, znajdującego się w podstawie, której spodek znajduje się w punkcie E na boku BC. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ostrosłupa, której spodek leży w punkcie F na wysokości AE podstawy. Z wierzchołka D opuszczono również wysokość ściany bocznej do punktu E i oznaczono ją h1. Długość odcinka FE wynosi 13h2. ∠DEF oznaczono alfa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1AdpxkKFkXcL/1639582599/1v0Eih2Rp7S4oNjCAyrOe6DJgr0DpLnm.png)
W celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianą boczną a podstawą obieramy punkt będący środkiem krawędzi . Zauważmy, że odcinki i są wysokościami trójkątów i , ponieważ pierwszy trójkąt jest równoramienny a drugi równoboczny wiec spodki obu wysokości dzielą odcinek na pół w punkcie . Wysokości te są oczywiście prostopadłe do krawędzi .
Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy długość wysokości :
.
Ponieważ , więc .
Wysokość trójkąta równobocznego ma długość . Ponadto .
Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy:
.
Znając długości odcinków i możemy wyznaczyć miarę kąta .
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono literą b. Z wierzchołków A i B opuszczono wysokości ścian bocznych oznaczone literą h, których spodki leżą w punkcie E na krawędzi bocznej CD. ∠AEB oznaczono alfa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R19HRD3gxswaD/1639582601/G0AaQYkf7gHO3B1w5HDJUXlTtgYGQLeg.png)
Trójkąty i są przystające, więc wysokości prowadzone z wierzchołków i przetną się punkcie leżącym na krawędzi . Z poprzedniego przykładu wiemy, że wysokość ściany bocznej opuszczona z punktu ma długość . Zatem pole ściany bocznej wynosi . Pole to jest również równe , czyli
,
.
Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy:
,
,
,
,
,
.
Znając długości odcinków i możemy wyznaczyć miarę kąta .
Uzasadnimy, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt pomiędzy ścianami bocznymi jest większy od .
Rozwiązanie
Zauważmy, że z warunku wynika, że , więc
,
Stąd cosinus kąta pomiędzy ścianami bocznymi , więc .
Dany jest czworościan , którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku długości , a krawędź o długości jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami i .
Rozwiązanie
Sporządzamy rysunek pomocniczy:
![Na ilustracji przedstawiono czworościan ABCD. Długość krawędzi podstawy wynosi 4, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi trzy. Krawędź boczna AD jest nachylona do krawędzi bocznej pod kątem prostym. Na krawędzi Ab zaznaczono punkt F. Z punktu F oraz wierzchołka C poprowadzono proste prostopadłe do krawędzi bocznej BD w punkcie E.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1LeB0lgnMxFV/1639582602/UnfkpDgsnjv8bvmYLFFn4zfLDP7KJRNe.png)
Z trójkątów prostokątnych i wyznaczamy . Zatem trójkąt jest trójkątem ostrokątnym.
Wspólną krawędzią ścian i jest . Zaznaczamy wysokość ściany opuszczoną z wierzchołka . Wysokość ta przecina krawędź w punkcie . Wyznaczamy odcinek prostopadły do krawędzi . Punkt leży na krawędzi lub jej przedłużeniu. W celu wyznaczenia kąta dwuściennego pomiędzy ścianami i należy wyznaczyć miarę kąta płaskiego .
Rozważmy ścianę :
![Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABC. Długość podstawy AB wynosi 4, natomiast długości ramion BD oraz CD wynoszą pięć. Z wierzchołka C opuszczono wysokość trójkąta oznaczoną h1, której spodek leży w punkcie E na boku BD. Natomiast z wierzchołka D opuszczono wysokość trójkąta oznaczoną h2, której spodek znajduje się w punkcie G na podstawie BC. ∠DBC oznaczono alfa. Odległość punktu E od wierzchołka B wynosi x.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R17qlIMgweVx0/1639582603/1XOB5pcjfyWHO8RflfRn6IV2KajCVN7J.png)
Z trójkąta prostokątnego obliczamy . Trójkąt jest podobny do trójkąta (cecha kąt‑kąt‑kąt). Zatem , czyli .
Ponadto , czyli .
Rozważmy ścianę :
![Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABD. Długość przyprostokątnej AD wynosi 3, natomiast przyprostokątnej AB wynosi cztery. ∠ABD oznaczono alfa. Zaznaczono punkt F na przyprostokątnej AB, z którego poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej w punkcie E. Zaznaczono trójkąt prostokątny BFE, którego przyprostokątna FE ma długość z, przyprostokątna EB ma długość 85 oraz przeciwprostokątna FB ma długość y.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RavjQHuHB7os7/1639582604/bDZDOjncUc9WcxqoaeUzGvi2WcwhEuKP.png)
Trójkąt jest podobny do trójkąta (cecha kąt‑kąt‑kąt). Stąd , czyli . Ponadto , czyli , więc .
Rozważmy trójkąt :
![Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABF. Kąt wewnętrzny przy wierzchołku B ma miarę 60 stopni. Długość boku BC wynosi 4, natomiast długość boku BF wynosi dwa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RKTuDraBMcYqx/1639582610/2D6lFTlV7DJ43M9RqaKXe03rGUEKZzHA.png)
Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy , więc . Oznaczamy kąt przez . Wówczas z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy:
,
,
,
.
Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy .
W matematyce definiuje się też pojęcie kąta wielościennego. Jest to część przestrzeni domknięta skończoną liczbą kątów płaskich takich, że wszystkie kąty mają wspólny wierzchołek i każde dwa następne kąty mają wspólne ramię.
Na przykład wierzchołek wyznacza kąt ograniczony przez kąty płaskie , , , oraz . Możemy też powiedzieć, że ten kąt jest wyznaczony przez pięć płaszczyzn przecinających się w punkcie , które tworzą jego ściany.
![Na ilustracji przedstawiono wierzchołki A,B,C,D i E z których poprowadzono proste, przecinające się w punkcie F. Punkt F tworzy wierzchołek bryły ograniczonej pięcioma płaszczyznami.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1ElRSsr2oLiX/1639582612/2629LtE0UpHnDjYnyr3ENC6DUsSIsLZC.png)
Każdy z czterech wierzchołków czworościanu wyznacza kąt trójściennykąt trójścienny.
Słownik
suma dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.
kąt płaski będący częścią wspólną kąta dwuściennego oraz płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.
część przestrzeni ograniczona przez powierzchnię wyznaczoną przez trzy półproste o wspólnym początku nieleżące w jednej płaszczyźnie; półproste te nazywamy krawędziami kąta trójściennego, a ich wspólny początek wierzchołkiem kąta trójściennego