Przypomnijmy, że w celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianami (zwanego kątem dwuściennymkąt dwuściennykątem dwuściennym) znajdujemy najpierw wspólną krawędź tych dwóch ścian. Następnie do wybranego punktu na tej krawędzi prowadzimy dwa odcinki, jeden zawarty w pierwszej ścianie, drugi – w drugiej, tak aby były one prostopadłe do tej krawędzi. Kąt pomiędzy tymi odcinkami to kąt liniowy kąta dwuściennego (czyli kąt pomiędzy tymi ścianami).

Rfds94yjxRncQ

Zastanówmy się, czy zawsze z trójkąta równobocznego o boku długości a i trzech trójkątów równoramiennych o podstawie długości a i ramionach długości b możemy zbudować ostrosłup prawidłowy trójkątny. Zauważmy, że spodek wysokości takiego ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym. Zatem, aby można było złożyć z tych trójkątów ostrosłup, to długość krawędzi bocznej musi być dłuższa od dwóch trzecich długości wysokości podstawy:

b>a33, czyli a<3b.

Wyznaczymy kąty pomiędzy ścianami tego ostrosłupa.

Przykład 1

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy a oraz długości krawędzi bocznej b wyznaczymy kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

R1AdpxkKFkXcL

W celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianą boczną a podstawą obieramy punkt E będący środkiem krawędzi BC. Zauważmy, że odcinki DEAE są wysokościami trójkątów CBDCBA, ponieważ pierwszy trójkąt jest równoramienny a drugi równoboczny wiec spodki obu wysokości dzielą odcinek BC na pół w punkcie E. Wysokości te są oczywiście prostopadłe do krawędzi BC.

Z trójkąta prostokątnego BED wyznaczamy długość wysokości DE:

h1=b2-a22=124b2-a2.

Ponieważ a<3b, więc 4b2-a2>0.

Wysokość trójkąta równobocznego ABC ma długość h2=a32. Ponadto EF=13h2=a36.

Z trójkąta prostokątnego DFE wyznaczamy:

cosα=EFDE=a36124b2-a2=a334b2-a2.

Znając długości odcinków ab możemy wyznaczyć miarę kąta α.

Przykład 2

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy a oraz długości krawędzi bocznej b wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

R19HRD3gxswaD

Trójkąty ACDBCD są przystające, więc wysokości prowadzone z wierzchołków AB przetną się punkcie E leżącym na krawędzi CD. Z poprzedniego przykładu wiemy, że wysokość ściany bocznej opuszczona z punktu D ma długość 124b2-a2. Zatem pole ściany bocznej wynosi P=14a4b2-a2. Pole to jest również równe P=12bh, czyli

12bh=14a4b2-a2,

h=a4b2-a22b.

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABE otrzymujemy:

a2=2h2-2h2cosα,

a2=2h21-cosα,

a2=a24b2-a22b21-cosα,

1-cosα=2b24b2-a2,

cosα=1-2b24b2-a2,

cosα=2b2-a24b2-a2.

Znając długości odcinków ab możemy wyznaczyć miarę kąta α.

Przykład 3

Uzasadnimy, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt pomiędzy ścianami bocznymi jest większy od 60°.

Rozwiązanie

Zauważmy, że z warunku 0<a<3b wynika, że 4b2>4b2-a2>4b2-3b2=b2, więc

12=2b24b2<2b24b2-a2,

Stąd cosinus kąta pomiędzy ścianami bocznymi cosα=1-2b24b2-a2<1-12=12, więc α>60°.

Przykład 4

Dany jest czworościan ABCD, którego podstawą jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 4, a krawędź AD o długości 3 jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami ABDBCD.

Rozwiązanie

Sporządzamy rysunek pomocniczy:

R1LeB0lgnMxFV

Z trójkątów prostokątnych ABDACD wyznaczamy BD=CD=32+42=5. Zatem trójkąt BCD jest trójkątem ostrokątnym.

Wspólną krawędzią ścian ABDBCD jest BD. Zaznaczamy wysokość ściany BCD opuszczoną z wierzchołka C. Wysokość ta przecina krawędź BD w punkcie E. Wyznaczamy odcinek EF prostopadły do krawędzi BD. Punkt F leży na krawędzi AB lub jej przedłużeniu. W celu wyznaczenia kąta dwuściennego pomiędzy ścianami ABDBCD należy wyznaczyć miarę kąta płaskiego CEF.

Rozważmy ścianę BCD:

R17qlIMgweVx0

Z trójkąta prostokątnego BGD obliczamy h2=52-22=21. Trójkąt BEC jest podobny do trójkąta BGD (cecha kąt‑kąt‑kąt). Zatem h14=h25, czyli h1=4215.

Ponadto x4=25, czyli x=85.

Rozważmy ścianę ABD:

RavjQHuHB7os7

Trójkąt BEF jest podobny do trójkąta BAD (cecha kąt‑kąt‑kąt). Stąd 85y=45, czyli y=2. Ponadto zy=35, czyli z2=35, więc z=65.

Rozważmy trójkąt BCF:

RKTuDraBMcYqx

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy CF2=16+4-16·12=12, więc CF=23. Oznaczamy kąt CEF przez γ. Wówczas z twierdzenia cosinusów dla trójkąta CEF otrzymujemy:

CF2=CE2+EF2-2·CE·EFcosγ,

12=33625+3625-482125cosγ,

4821cosγ=72,

cosγ=3221=321420,3273.

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy γ71°.

Ciekawostka

W matematyce definiuje się też pojęcie kąta wielościennego. Jest to część przestrzeni domknięta skończoną liczbą kątów płaskich takich, że wszystkie kąty mają wspólny wierzchołek i każde dwa następne kąty mają wspólne ramię.

Na przykład wierzchołek F wyznacza kąt ograniczony przez kąty płaskie AFB, BFC, CFD, DFE oraz EFA. Możemy też powiedzieć, że ten kąt jest wyznaczony przez pięć płaszczyzn przecinających się w punkcie F, które tworzą jego ściany.

R1ElRSsr2oLiX

Każdy z czterech wierzchołków czworościanu wyznacza kąt trójściennykąt trójściennykąt trójścienny.

Słownik

kąt dwuścienny
kąt dwuścienny

suma dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

kąt liniowy kąta dwiściennego
kąt liniowy kąta dwiściennego

kąt płaski będący częścią wspólną kąta dwuściennego oraz płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.

kąt trójścienny
kąt trójścienny

część przestrzeni ograniczona przez powierzchnię wyznaczoną przez trzy półproste o wspólnym początku nieleżące w jednej płaszczyźnie; półproste te nazywamy krawędziami kąta trójściennego, a ich wspólny początek wierzchołkiem kąta trójściennego