Przeczytaj
Przypomnijmy, że w celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianami (zwanego kątem dwuściennymkątem dwuściennym) znajdujemy najpierw wspólną krawędź tych dwóch ścian. Następnie do wybranego punktu na tej krawędzi prowadzimy dwa odcinki, jeden zawarty w pierwszej ścianie, drugi – w drugiej, tak aby były one prostopadłe do tej krawędzi. Kąt pomiędzy tymi odcinkami to kąt liniowy kąta dwuściennego (czyli kąt pomiędzy tymi ścianami).
Zastanówmy się, czy zawsze z trójkąta równobocznego o boku długości i trzech trójkątów równoramiennych o podstawie długości i ramionach długości możemy zbudować ostrosłup prawidłowy trójkątny. Zauważmy, że spodek wysokości takiego ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym. Zatem, aby można było złożyć z tych trójkątów ostrosłup, to długość krawędzi bocznej musi być dłuższa od dwóch trzecich długości wysokości podstawy:
Wyznaczymy kąty pomiędzy ścianami tego ostrosłupa.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej wyznaczymy kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
W celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianą boczną a podstawą obieramy punkt będący środkiem krawędzi . Zauważmy, że odcinki i są wysokościami trójkątów i , ponieważ pierwszy trójkąt jest równoramienny a drugi równoboczny wiec spodki obu wysokości dzielą odcinek na pół w punkcie . Wysokości te są oczywiście prostopadłe do krawędzi .
Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy długość wysokości :
.
Ponieważ , więc .
Wysokość trójkąta równobocznego ma długość . Ponadto .
Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy:
.
Znając długości odcinków i możemy wyznaczyć miarę kąta .
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
Trójkąty i są przystające, więc wysokości prowadzone z wierzchołków i przetną się punkcie leżącym na krawędzi . Z poprzedniego przykładu wiemy, że wysokość ściany bocznej opuszczona z punktu ma długość . Zatem pole ściany bocznej wynosi . Pole to jest również równe , czyli
,
.
Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy:
,
,
,
,
,
.
Znając długości odcinków i możemy wyznaczyć miarę kąta .
Uzasadnimy, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt pomiędzy ścianami bocznymi jest większy od .
Rozwiązanie
Zauważmy, że z warunku wynika, że , więc
,
Stąd cosinus kąta pomiędzy ścianami bocznymi , więc .
Dany jest czworościan , którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku długości , a krawędź o długości jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami i .
Rozwiązanie
Sporządzamy rysunek pomocniczy:
Z trójkątów prostokątnych i wyznaczamy . Zatem trójkąt jest trójkątem ostrokątnym.
Wspólną krawędzią ścian i jest . Zaznaczamy wysokość ściany opuszczoną z wierzchołka . Wysokość ta przecina krawędź w punkcie . Wyznaczamy odcinek prostopadły do krawędzi . Punkt leży na krawędzi lub jej przedłużeniu. W celu wyznaczenia kąta dwuściennego pomiędzy ścianami i należy wyznaczyć miarę kąta płaskiego .
Rozważmy ścianę :
Z trójkąta prostokątnego obliczamy . Trójkąt jest podobny do trójkąta (cecha kąt‑kąt‑kąt). Zatem , czyli .
Ponadto , czyli .
Rozważmy ścianę :
Trójkąt jest podobny do trójkąta (cecha kąt‑kąt‑kąt). Stąd , czyli . Ponadto , czyli , więc .
Rozważmy trójkąt :
Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy , więc . Oznaczamy kąt przez . Wówczas z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy:
,
,
,
.
Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy .
W matematyce definiuje się też pojęcie kąta wielościennego. Jest to część przestrzeni domknięta skończoną liczbą kątów płaskich takich, że wszystkie kąty mają wspólny wierzchołek i każde dwa następne kąty mają wspólne ramię.
Na przykład wierzchołek wyznacza kąt ograniczony przez kąty płaskie , , , oraz . Możemy też powiedzieć, że ten kąt jest wyznaczony przez pięć płaszczyzn przecinających się w punkcie , które tworzą jego ściany.
Każdy z czterech wierzchołków czworościanu wyznacza kąt trójściennykąt trójścienny.
Słownik
suma dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.
kąt płaski będący częścią wspólną kąta dwuściennego oraz płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.
część przestrzeni ograniczona przez powierzchnię wyznaczoną przez trzy półproste o wspólnym początku nieleżące w jednej płaszczyźnie; półproste te nazywamy krawędziami kąta trójściennego, a ich wspólny początek wierzchołkiem kąta trójściennego