Animacja 3D

Polecenie 1

Eulera dla ostrosłupów. Zapoznaj się z animacją 3D dotyczącą twierdzenia

Zapoznaj się z animacją 3D dotyczącą twierdzenia Eulera dla ostrosłupów. Przeanalizuj przedstawione zadania i ich rozwiązania. Zwróć uwagę na przyjęte oznaczenia i sposób zapisu kolejnych etapów pracy.

RkkX1qOy1p6eA

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DV9J769jU

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej twierdzenia Eulera dla ostrosłupów.

Polecenie 2

Jaki wielokąt jest w podstawie ostrosłupa, jeżeli suma ilości jego wierzchołków, krawędzi i ścian jest równa $118$ ?

Zgodnie z przyjętymi w samouczku oznaczeniami, możemy zanotować, że $W + S + K = 118$ . Jednocześnie z twierdzenia Eulera wiemy, że $W + S - K = 2$ . Odejmując stronami te dwa równania otrzymamy informację o ilości krawędzi naszego ostrosłupa $K = 58$ . Konsekwentnie oznacza to, że w podstawie ostrosłupa jest $29$ -kąt.

Polecenie 3

Rozpatrujemy ostrosłup $n$ -kątny. Tworzymy wielościan niewypukły, wydrążając z danego ostrosłupa ostrosłup do niego podobny w skali $1 : 4$ . Podstawa mniejszego ostrosłupa jest zawarta w podstawie większego. Sprawdź, czy taka bryła spełnia wzór Eulera. Możesz wykorzystać poznaną metodę , dzięki której ilość ścian, krawędzi i wierzchołków ostrosłupa wyrażamy za pomocą jednej zmiennej $n$ określającej ilość krawędzi podstawy ostrosłupa.

Rozpatrujemy ostrosłup $n$ -kątny. Tworzymy wielościan niewypukły, wydrążając z danego ostrosłupa ostrosłup do niego podobny w skali $1 : 4$ . Podstawa mniejszego ostrosłupa jest zawarta w podstawie większego. Sprawdź, czy taka bryła spełnia wzór Eulera. Możesz wykorzystać metodę omówioną w samouczku, dzięki której ilość ścian, krawędzi i wierzchołków ostrosłupa wyrażamy za pomocą jednej zmiennej $n$ określającej ilość krawędzi podstawy ostrosłupa.

Jeżeli postąpimy zgodnie z opisem, nowa bryła nie jest wielościanem wypukłym. Jednak łatwo zauważyć, że:

podwoi się wyjściowa ilość wierzchołków ostrosłupa,
podwoi się wyjściowa ilość krawędzi ostrosłupa,
ilość ścian zwiększy się o $n$ (bo ściany podstaw leżą w tej samej płaszczyźnie).

Ostatecznie mamy:

$W + S - K = (2 n + 2) + (n + 1 + n) - (2 n + 2 n) = 2 n + 2 + 2 n + 1 - 4 n = 3$

Oznacza to, że taka bryła (pomimo, że zdefiniowana za pomocą ostrosłupów) nie spełnia twierdzenia Eulera.

Przeczytaj

Sprawdź się