Aby rozwiązać zadanie musisz zadać sobie dwa kluczowe pytania:

1. Co wynika z faktu, że liczba wierzchołków ostrosłupa jest nieparzysta?

2. Jakimi trójkątami są ściany boczne tego ostrosłupa?

Jak poprzednio, przez $n\in N$ oznaczmy liczbę wierzchołków podstawy naszego ostrosłupa. Oczywiście $n>2$.

Po pierwsze zauważmy, że aby liczba wszystkich wierzchołków ostrosłupa była nieparzysta, to podstawę ostrosłupa musi stanowić wielokąt o parzystej liczbie wierzchołków, czyli $n$ jest liczbą parzystą. Co więcej, ponieważ wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają równą długość, więc w szczególności jego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Kąty płaskie przy wierzchołku ostrosłupa są zatem równe $60°$. Suma tych kątów musi zaś być mniejsza niż $360°$.

Otrzymujemy wobec tego nierówność $n·60°<360°$.

Dzieląc obustronnie przez $60°$ otrzymujemy $2<n<6$. Liczba ścian bocznych ostrosłupa wynosi zatem co najmniej $3$ i co najwyżej $5$. Jedyną liczbą parzystą z przedziału jest liczba $4$.

Zatem jedynym ostrosłupem spełniającym założenia jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego długość każdej krawędzi bocznej jest równa długości krawędzi podstawy. Ostrosłup taki posiada dokładnie $8$ krawędzi.

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$-kąt. Wtedy liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $K=2n$, a liczba jego wierzchołków jest równa $W=n+1$. Warunki zadania będą zatem spełnione, gdy liczba naturalna $n$ będzie spełniała równanie:
$2n=1,9·\left(n+1\right)$
$0,1n=1,9$
$n=19$
Podstawą ostrosłupa jest zatem dziewiętnastokąt. Taka bryła ma dokładnie dwadzieścia ścian.

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$-kąt. Wtedy liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $K =2n$, a liczba jego ścian jest równa $S =n +1$. Oznacza to, że dana równość jest równoważna następującemu równaniu o niewiadomej $n$ (gdzie $n \in \mathrm{\mathbb{N}}$ i $n > 2$):
${\left(2n\right)}^2+3·\left(2n\right)=18·\left(n+1\right)-2$
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
$4n^2+6n-18n-18+2=0$
$4n^2-12n-16=0$
$n^2-3n-4=0$
$\Delta =9+16=25$
$n_1=\frac{3-5}{2}=-1$
$n_2=\frac{3+5}{2}=4$.
Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to jedynym rozwiązaniem równania jest $n=4$. Oznacza to, że w podstawie ostrosłupa znajduje się czworokąt, zatem bryła ta posiada pięć wierzchołków.

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$-kąt. Wtedy liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $K=2n$, a liczba jego ścian jest równa $S=n+1$. Z warunków zadania wynika zatem równość:
$\left(n+1\right)·2n=84\wedge n\in \mathrm{\mathbb{N}}\wedge n>2$
Możemy oczywiście rozwiązać otrzymane równanie kwadratowe obliczając standardowo wyróżnik trójmianu kwadratowego. My wykorzystamy jednak fakt, że rozwiązanie ma być liczba naturalną. Rozłożymy zatem prawą stronę na czynniki pierwsze.
$2n·\left(n+1\right)=84$
$n·\left(n+1\right)=42$
$n·\left(n+1\right)=2·3·7$
$n·\left(n+1\right)=6·7$
$n=6$
Powołując się na jednoznaczność rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze wnioskujemy, że liczba $n=6$ jest jedynym rozwiązaniem tego równania. Ostatecznie wiadomo, że w podstawą ostrosłupa spełniającego warunki zadania jest sześciokąt.

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$-kąt. Wtedy liczba wierzchołków tego ostrosłupa wynosi $V =n +1$, liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $E =2n$, a liczba jego ścian jest równa $F =n +1$. Zgodnie z warunkami zadania objętość prostopadłościanu o wymiarach $V \times E \times F$ jest równa $360$. Otrzymujemy zatem równanie postaci:
$\left(n+1\right)·2n·\left(n+1\right)=360$
Jest to równanie wielomianowe. Przekształcając wielomian i rozkładając go na czynniki (wykorzystując np. fakt, że jednym z dzielników wyrazu wolnego wielomianu jest liczba $5$ i zeruje ona wielomian oraz stosując schemat Hornera), otrzymamy:
$2n·{\left(n+1\right)}^2=360$
$n·{\left(n+1\right)}^2=180$
$n^3+2n^2+n-180=0$
$\left(n-5\right)\left(n^2+7n+36\right)=0$
Ponieważ drugi czynnik nie przyjmuje wartości zero $\left(∆<0\right)$, jedynym rozwiązaniem tego równania jest $n=5$. Oznacza to, że omawiany prostopadłościan ma wymiary $10\times 6\times 6$.