Liczba krawędzi wielościanu wypukłego jest o dwa mniejsza od sumy liczby wierzchołków i liczby ścian tego wielościanu.

Niech $W$ oznacza liczbę wierzchołków, $K$ liczbę krawędzi, zaś $S$ liczbę ścian wielościanu. Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi równość

Rozważmy przykład ilustrujący wzór Eulera dla ostrosłupa o podstawie czworokąta.

R1HUsYjCTAvFx

Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, wierzchołki podstawy oznaczono literami A B C D, a wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości oznaczono literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono jej przekątne. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy zaznaczono jako kąt prosty.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

Możemy łatwo policzyć korzystając z rysunku albo modelu takiego ostrosłupa liczbę jego wierzchołków, krawędzi i ścian. W poniższej tabeli zebraliśmy wartości poszczególnych składowych ze wzoru Eulera.

Zgodnie ze wzorem Eulera zachodzi równość $W+S-K=5+5-8=2$.

Zajmiemy się teraz twierdzeniem Eulera w przypadku dowolnego ostrosłupa o podstawie $n$-kątnej.

RBEg2ZW6la8P6

Grafika przedstawia ostrosłup, który nie jest w pełni narysowany. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą S, natomiast podstawa wygląda w następujący sposób: w ostrosłupie zaznaczono 6 wierzchołków podstawy: $A_{\mathrm{n}}$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ oraz $A_5$. Krawędzie podstawy pomiędzy wierzchołkami $A_{\mathrm{n}}$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ oraz $A_4$ zostały narysowane linią ciągłą, przylegające do tych wierzchołków krawędzie boczne również zostały na rysowane linią ciągłą. Krawędź podstawy pomiędzy wierzchołkiem $A_4$ i $A_5$ została na rysowana linią przerywaną. Z drugiej strony wierzchołka $A_5$ również wychodzi linia przerywana, ale na jej końcu nie znajduje się żaden wierzchołek. Krawędź boczna łącząca punkty $A_5$ i S została narysowana linią przerywaną. Z wierzchołka $A_{\mathrm{n}}$ w stronę przeciwną niż do wierzchołka $A_1$ również wychodzi linia przerywana, na której końcu nie znajduj się żaden wierzchołek. Linie wychodzące z punktów $A_5$ i $A_{\mathrm{n}}$ nie są ze sobą połączone, a pomiędzy nimi pozostawiono pustą przestrzeń. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości podpisano literą O. W płaszczyźnie podstawy zaznaczono również odcinek $A_1$O, kąt pomiędzy odcinkami SO i $A_1$O to kąt prosty.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

Przyjmijmy oznaczenie $n$ na liczbę wierzchołków wielokąta będącego podstawą ostrosłupa. Z wcześniejszych obserwacji wiemy, że zachodzą związki
$S=n+1$, $W=n+1$ oraz $K=2n$.
Stąd otrzymujemy równość $W+S-K=\left(n+1\right)+\left(n+1\right)-2n=2$.
Zauważmy, że w powyższym dowodzie w żaden sposób nie wykorzystaliśmy informacji, że ostrosłup jest wypukły. Związki określające ilość krawędzi, wierzchołków i ścian ostrosłupa w zależności od ilości boków wielokąta podstawy są prawdziwe zawsze, nawet, gdy ostrosłup ten nie jest bryłą wypukłąBryła wypukłabryłą wypukłą. Możemy zatem stwierdzić, że wzór Eulera jest prawdziwy dla każdego ostrosłupa (nie tylko wypukłego).
Dzięki opisanym własnościom, można rozwiązywać zadania, w których musimy dokonać analizy bryły na podstawie wiadomości o liczbie jej ścian, krawędzi oraz wierzchołków.

Ile ścian bocznych ma ostrosłup o $300$ krawędziach?

Rozwiązanie

Jeżeli jest to ostrosłup $n$-kątny, to liczba jego krawędzi jest równa $2n=300$. Stąd $n=150$, co oznacza, że ostrosłup ten ma dokładnie $151$ ścian.

Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o $17$ większa od liczby jego wszystkich wierzchołków. Oblicz, ile ścian ma ten ostrosłup.

Rozwiązanie

Pamiętając, że dla ostrosłupa o podstawie $n$-kątnej liczba krawędzi wynosi $2n$ zaś liczba wierzchołków $n+1$, otrzymujemy następującą zależność:
$2n=\left(n+1\right)+17$.
Stąd już bezpośrednio wynika, że $n=18$. Oznacza to, że omawianym ostrosłupem jest ostrosłup o podstawie osiemnastokątnej, a jego ilość ścian jest równa $19$.

Charakterystyką Eulera wielościanu nazywamy liczbę $\chi =S+W-K$, gdzie $S$ oznacza liczbę ścian wielościanu, $W$ liczbę jego wierzchołków, a $K$ liczbę jego krawędzi. Rozpatrzmy ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy jest równa wysokości ściany bocznej.

1. Podajemy charakterystykę Eulera omawianego ostrosłupa.
   Zauważmy, że charakterystyka Eulera jest sumą, która występuje w twierdzeniu Eulera o wielościanach wypukłych. Dla ostrosłupa (jak i dla każdego wielościanu wypukłego) mamy zatem $\chi =S+W-K=2$.

2. Do ściany $S_1{B}_1{C}_1$ danego ostrosłupa doklejamy identyczny ostrosłup. Podajemy charakterystykę Eulera wielościanu, który powstał po sklejeniu dwóch ostrosłupów.

   R3MIhB6YqIb0r

   Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, wierzchołki podstawy oznaczono literami $A_1$ $B_1$ $C_1$ $D_1$, a wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą $S_1$. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości oznaczono literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono jej przekątne. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy zaznaczono jako kąt prosty. Do ściany $B_1$ $C_1$ $S_1$ doklejono identyczny ostrosłup w taki sposób, że $S_1=S_2$, $B_1=A_2$ natomiast $C_1=D_2$. Pozostałe wierzchołki podstawy doklejonego ostrosłupa to $B_2$ i $C_2$.

   Kliknij, aby uruchomić podgląd

   Jeżeli skleimy dwa ostrosłupy, to ilość ścian otrzymanej bryły będzie równa sumie ilości ścian danych ostrosłupów pomniejszonej o $2$ (bo dwie ściany zniknęły we wnętrzu bryły). Ilość krawędzi otrzymanej bryły będzie równa sumie ilości krawędzi każdego z ostrosłupów pomniejszonej o $3$ (bo trzy krawędzi pokryły się). Ilość wierzchołków otrzymanej bryły będzie równa sumie ilości wierzchołków danych ostrosłupów pomniejszonej o $3$ (bo trzy wierzchołki zostały zlepione). Ostatecznie $\chi =\left(5+5-2\right)+\left(5+5-3\right)-\left(8+8-3\right)=2$.
   Charakterystyka Eulera otrzymanego wielościanu jest zatem równa charakterystyce Eulera wyjściowego ostrosłupa.

3. Postępując analogicznie, do ściany $S_2{B}_2{C}_2$ doklejamy kolejny ostrosłup. Określ, ile maksymalnie identycznych ostrosłupów opisanych w zadaniu można skleić w ten sposób ze sobą.
   Rozpatrzmy w danym ostrosłupie trójkąt, którego wierzchołkami są środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy i wierzchołek górny ostrosłupa.

   RGZhiKXdwxV23

   Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, wierzchołki podstawy oznaczono literami $A_1$ $B_1$ $C_1$ $D_1$, a wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą $S_1$. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości oznaczono literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono jej przekątne. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy zaznaczono jako kąt prosty. Do ściany $B_1$ $C_1$ $S_1$ doklejono identyczny ostrosłup w taki sposób, że $S_1=S_2$, $B_1=A_2$ natomiast $C_1=D_2$. Pozostałe wierzchołki podstawy doklejonego ostrosłupa to $B_2$ i $C_2$. W obu ostrosłupach zaznaczono trójkąty, których wierzchołkami są środki dwóch krawędzi podstawy i wierzchołek górny ostrosłupa, zatem trójkąty te mają dwa wierzchołki wspólne.

   Kliknij, aby uruchomić podgląd

   Ponieważ zgodnie z warunkami zadania wysokość ściany bocznej jest równa krawędzi podstawy, to ten trójkąt jest trójkątem równobocznym. Gdy doklejamy kolejne ostrosłupy, trójkąty te sklejają się bokami należącymi do sklejanej ściany i są współpłaszczyznowe. Ponieważ kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego jest równy $60°$, to zlepimy maksymalnie sześć ostrosłupów, otrzymując w omawianym przekroju kąt pełny $360°$ .

4. Podajemy charakterystykę Eulera wielościanu sklejonego z tej maksymalnej liczby ostrosłupów.
   Oto szkic otrzymanego wielościanu.

   RpkzudWEWvmbQ

   Grafika przedstawia kartkę w kratkę, na której narysowano szkic sklejonych ze sobą ścianami bocznymi sześciu ostrosłupów o podstawie czworokąta. Krawędzie podstaw połączonych ostrosłupów tworzą kształt sześciokąta.

   Kliknij, aby uruchomić podgląd

   Na zamieszczonym rysunku możemy zauważyć, że omawiany wielościan sklejony z sześciu ostrosłupów ma: $18$ ścian, $13$ wierzchołków oraz $30$ krawędzi. Obliczając jego charakterystykę Eulera otrzymujemy $\chi =18+13-30=1$. Oznacza to, że po sklejeniu ostatnich ścian i domknięciu „pierścienia” otrzymamy wielościan, którego charakterystyka jest różna od charakterystyki użytych ostrosłupów.

część przestrzeni (bryła) ograniczona ze wszystkich stron wielokątami leżącymi w różnych płaszczyznach wraz z tymi wielokątami

zbiór punktów, który spełnia warunek, że każde dwa punkty należące do tego zbioru można połączyć odcinkiem zawartym w tym zbiorze