Animacja

Polecenie 1

Obejrzyj animację przedstawiającą zagadnienie optymalizacyjne wykorzystujące własności funkcji kwadratowej.

Zapoznaj się z animacją przedstawiającą zagadnienie optymalizacyjne wykorzystujące własności funkcji kwadratowej.

R1QFXQaWLOONz

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D13Ezyoxy

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego zagadnień optymalizacyjnych z kontekstem realistycznym wykorzystujące własności funkcji kwadratowej.

Polecenie 2

Z kawałka materiału w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $5 m$ oraz wysokości opuszczonej na tą podstawę równej $6 m$ chcemy wyciąć prostokątny fragment, jak na poniższym rysunku.

R97qXIa1sELog

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny o podstawie AB, wierzchołku C. Na ramieniu AC zaznaczono punkt D, oraz na ramieniu AB zaznaczono punkt E. W trójkąt wpisano czerwony prostokąt, w taki sposób, że dłuższy bok prostokąta znajduje się w podstawie trójkąta, a jego krótsze boki zbiegają się z ramionami trójkąta w punkcie D, oraz E.

Oblicz, jakie wymiary powinien mieć ten prostokąt.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku $(x > 0, y > 0)$ .

RCowwhG9AZb4b

Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny ABC, oraz zaznaczono następujące wymiary. Długość podstawy AB wynosi pięć. Krótszy bok prostokąta oznaczono x, natomiast dłuższy oznaczono y. Wysokość trójkąta jest równa 6, zatem odległość wierzchołka C od boku DE prostokąta wynosi 6-x.

Zauważmy, że trójkąty $A B C$ i $D E C$ są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów $k k k$ .

Wobec tego zachodzi zależność:

$\frac{5}{6} = \frac{y}{6 - x}$

Zatem $y = 5 - \frac{5}{6} x$ oraz $x \in (0, 6)$ .

Pole powierzchni prostokąta wyraża funkcja $f$ określona wzorem:

$f (x) = x \cdot (5 - \frac{5}{6} x) = - \frac{5}{6} x^{2} + 5 x$

Wykres tej funkcji jest parabolą z ramionami skierowanymi do dołu, zatem funkcja przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy pierwszą współrzędną $p$ wierzchołka paraboli:

$p = \frac{- 5}{2 \cdot (- \frac{5}{6})} = \frac{5}{\frac{5}{3}} = 3$

Wobec tego $x = 3$ oraz $y = 5 - \frac{5}{6} \cdot 3 = 2, 5$ .

Zatem wycięty fragment materiału w kształcie prostokąta powinien mieć wymiary $3 m$ na $2, 5 m$ .

Przeczytaj

Sprawdź się