Wypiszmy dane do zadania, korzystając z rysunku.

$a=4\sqrt{3}$

$b=6$

$\alpha =60°$

Pole trójkąta z rysunku obliczymy ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}·a·b·\sin \gamma$.

Jeżeli skorzystamy z twierdzenia sinusów, to:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$, zatem:

$\frac{4\sqrt{3}}{\sin 60°}=\frac{6}{\sin \beta }$

$\sin \beta =\frac{6·{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{4\sqrt{3}}=\frac{3}{4}$

$\cos \beta =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Wykorzystamy zależność:

$\sin \gamma =\sin \left(180°-\left(\alpha +\beta \right)\right)=\sin \left(\alpha +\beta \right)$

Zatem

$\sin \gamma =\sin \left(60°+\beta \right)=\sin 60°·\cos \beta +\sin \beta ·\cos 60°=$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{3}{4}·\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{21}+3}{8}$

Wobec tego pole trójkąta wynosi:

$P=\frac{1}{2}·4\sqrt{3}·6·\frac{\sqrt{21}+3}{8}=\frac{9\sqrt{7}+9\sqrt{3}}{2}$