Zauważmy, że każda liczba sześciocyfrowa utworzona za pomocą różnych cyfr ze zbioru może być wzajemnie jednoznacznie utożsamiona z sześcioelementowym ciągiem kolejnych i różnych cyfr zapisu dziesiętnego tej liczby: , gdzie:
to cyfra setek tysięcy,
- cyfra dziesiątek tysięcy,
- cyfra tysięcy,
- cyfra setek,
- cyfra dziesiątek,
- cyfra jedności.
Liczby spełniające warunki zadania występują wyłącznie w następujących sześciu rozłącznych przypadkach.
(1) , , , , .
Te warunki są spełniona tylko dla . Zatem w tym przypadku jest jedna liczba, która spełnia warunki zadania.
(2) , , , , .
W tym przypadku nie ma liczb spełniających warunki zadania.
(3) , , , .
Wtedy , a cyfry , możemy dobrać jako dwie różne z pozostałych sześciu możliwych.
Stąd w tym przypadku jest liczb, które spełniają warunki zadania.
(4) , , .
W tym przypadku nie ma liczb spełniających warunki zadania.
(5) , .
Wtedy , a cyfry , ,, możemy dobrać jako cztery parami różne z pozostałych ośmiu możliwych.
Zatem w tym przypadku jest liczb, które spełniają warunki zadania.
(6) .
Wtedy , a cyfry , , ,, możemy dobrać jako pięć parami różnych z pozostałych dziewięciu możliwych.
Oznacza to, że w tym przypadku jest liczb, które spełniają warunki zadania.
Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich sześciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są mniejsze od jest .