Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rj7ZrwLXf2oN32

Ćwiczenie 1

Oblicz, ile jest wszystkich możliwych trzyliterowych napisów o różnych literach wybranych z dziesięcioelementowego zbioru $"{"a, b, c, d, e, f, g, h, i, j"}"$ , w których występuje co najmniej jedna samogłoska, czyli litera ze zbioru $"{"a, e, i"}"$ .
W kratkach poniżej wpisz kolejno cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

............ ............ ............

RMSmH8dNp6Ts32

Ćwiczenie 2

Oblicz, ile wszystkich jest takich funkcji różnowartościowych ze zbioru $"{"a, b, c, d, e"}"$ do zbioru $"{"1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8"}"$ , których największą wartością jest $8$ .

$820$
$4200$
$5040$
$5880$

R1ZuM9vqogP2Q2

Ćwiczenie 3

Rozpatrujemy wszystkie naturalne liczby czterocyfrowe o różnych cyfrach wybranych ze zbioru

\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

. Wśród nich wyróżniamy następujące zbiory:

A

- liczb, które są podzielne przez

2

lub przez

5

, w których zapisie dziesiętnym każda z trzech początkowych cyfr jest nieparzysta,

B

- liczb, które nie są podzielne ani przez

2

ani przez

5

, w których zapisie dziesiętnym każda z trzech początkowych cyfr jest parzysta,

C

- liczb, które nie są podzielne ani przez

2

ani przez

5

, w których zapisie dziesiętnym suma każdych dwóch sąsiednich cyfr jest nieparzysta,

D

- liczb, które są podzielne przez

2

lub przez

5

, w których zapisie dziesiętnym suma każdych dwóch sąsiednich cyfr jest parzysta.
Znajdź pary równych liczb.

|A|

Możliwe odpowiedzi: 1.

V_{4}^{2} \cdot V_{4}^{1} \cdot 4

, 2.

V_{4}^{3} + V_{5}^{3} \cdot 4

, 3.

V_{4}^{3} + V_{4}^{4}

, 4.

4 \cdot V_{4}^{3}

|B|

Możliwe odpowiedzi: 1.

V_{4}^{2} \cdot V_{4}^{1} \cdot 4

, 2.

V_{4}^{3} + V_{5}^{3} \cdot 4

, 3.

V_{4}^{3} + V_{4}^{4}

, 4.

4 \cdot V_{4}^{3}

|C|

Możliwe odpowiedzi: 1.

V_{4}^{2} \cdot V_{4}^{1} \cdot 4

, 2.

V_{4}^{3} + V_{5}^{3} \cdot 4

, 3.

V_{4}^{3} + V_{4}^{4}

, 4.

4 \cdot V_{4}^{3}

|D|

Możliwe odpowiedzi: 1.

V_{4}^{2} \cdot V_{4}^{1} \cdot 4

, 2.

V_{4}^{3} + V_{5}^{3} \cdot 4

, 3.

V_{4}^{3} + V_{4}^{4}

, 4.

4 \cdot V_{4}^{3}

Rozpatrujemy wszystkie naturalne liczby czterocyfrowe o różnych cyfrach wybranych ze zbioru $"{"1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9"}"$ . Wśród nich wyróżniamy następujące zbiory:
$A$ - liczb, które są podzielne przez $2$ lub przez $5$ , w których zapisie dziesiętnym każda z trzech początkowych cyfr jest nieparzysta,
$B$ - liczb, które nie są podzielne ani przez $2$ ani przez $5$ , w których zapisie dziesiętnym każda z trzech początkowych cyfr jest parzysta,
$C$ - liczb, które nie są podzielne ani przez $2$ ani przez $5$ , w których zapisie dziesiętnym suma każdych dwóch sąsiednich cyfr jest nieparzysta,
$D$ - liczb, które są podzielne przez $2$ lub przez $5$ , w których zapisie dziesiętnym suma każdych dwóch sąsiednich cyfr jest parzysta.
Znajdź pary równych liczb.

$"\|"A"\|"$
$"\|"B"\|"$
$"\|"C"\|"$
$"\|"D"\|"$

RrOdMNysbpgbD2

Ćwiczenie 4

W klasie 3b jest

23

chłopców i

12

dziewcząt. Na powtórzeniowej lekcji matematyki uczniowie tej klasy mają omówić polecone przez nauczyciela

4

zadania, przy czym każde z tych zadań ma być rozwiązywane przez innego ucznia tej klasy. Oznaczamy:

x

- liczba wszystkich możliwych wyborów

4

osób tak, aby wśród uczniów wskazanych do rozwiązania zadania była co najmniej jedna dziewczynka,

y

- liczba wszystkich możliwych wyborów

4

osób tak, aby wśród uczniów wskazanych do rozwiązania zadania był co najmniej jeden chłopiec.
Oblicz

\frac{x}{y}

. Zakoduj w kratkach poniżej kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij

W klasie 3b jest $23$ chłopców i $12$ dziewcząt. Na powtórzeniowej lekcji matematyki uczniowie tej klasy mają omówić polecone przez nauczyciela $4$ zadania, przy czym każde z tych zadań ma być rozwiązywane przez innego ucznia tej klasy. Oznaczamy:
$x$ - liczba wszystkich możliwych wyborów $4$ osób tak, aby wśród uczniów wskazanych do rozwiązania zadania była co najmniej jedna dziewczynka,
$y$ - liczba wszystkich możliwych wyborów $4$ osób tak, aby wśród uczniów wskazanych do rozwiązania zadania był co najmniej jeden chłopiec.
Oblicz $\frac{x}{y}$ . Zakoduj w kratkach poniżej kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

............ ............ ............

RC1DO5Jd4wOx62

Ćwiczenie 5

Rozpatrujemy trzycyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach, które spełniają następujące trzy warunki:
(1) w ich zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra $0$ ,
(2) w ich zapisie dziesiętnym jest co najmniej jedna cyfra parzysta,
(3) w ich zapisie dziesiętnym jest co najmniej jedna cyfra nieparzysta.
Ile jest wszystkie takich liczb?

$V_{9}^{3} - V_{5}^{3} - V_{4}^{3}$
$3 \cdot V_{5}^{1} \cdot V_{4}^{2} + 3 \cdot V_{4}^{1} \cdot V_{5}^{2}$
więcej niż $500$
mniej niż $400$

R1J3Jmf4DzKGj3

Ćwiczenie 6

Dodatnie liczby całkowite $k$ i $n$ spełniają równanie

11 \cdot V_{n}^{k} = V_{n + 1}^{k}

Wynika stąd, że

$k + n + 1$ dzieli się przez $3$
$k + n + 1$ dzieli się przez $7$
$k + n + 1$ dzieli się przez $10$
$k + n + 1$ dzieli się przez $11$

Rx2AUnxMfQ9eK3

Ćwiczenie 7

Istnieje tylko jedna para liczb całkowitych $(k, n)$ , gdzie $1 \leq k \leq n$ , która spełnia warunek

V_{n}^{k} = 1 + \sqrt{V_{100}^{4} + 4 \cdot V_{100}^{3} + 1}

Suma

k + n

jest zatem równa

$100$
$101$
$102$
$103$

R1IjsrMWfNmJ33

Ćwiczenie 8

Rozpatrzmy wszystkie takie pary liczb całkowitych $(k, n)$ , gdzie $1 \leq k \leq n$ , które spełniają warunek

720 \cdot V_{n}^{3} = V_{n}^{k}

Oznaczmy przez

(k_{1}, n_{1})

oraz

(k_{2}, n_{2})

te spośród tych par, dla których suma

k + n

jest odpowiednio najmniejsza oraz największa. Wówczas

$k_{1} + n_{1} + k_{2} + n_{2} = 37$
$k_{1} \cdot n_{1} + k_{2} \cdot n_{2} = 150$
$k_{1} \cdot n_{1} \cdot k_{2} + n_{2} = 499$
$k_{1} + n_{1} \cdot k_{2} \cdot n_{2} = 710$

$"\|"A"\|"$
$"\|"B"\|"$
$"\|"C"\|"$
$"\|"D"\|"$

Animacja

Dla nauczyciela