Przeczytaj
W poniższych przykładach pokażemy wykorzystanie własności wariacji bez powtórzeńwariacji bez powtórzeń.
W rozwiązaniach tych przykładów będziemy stosować twierdzenie o liczbie wariacji bez powtórzeńtwierdzenie o liczbie wariacji bez powtórzeń.
Jeżeli proponowana metoda rozwiązania będzie polegała na analizie rozłącznych przypadków, to przy obliczaniu liczby wszystkich możliwości z zasady będziemy odwoływać się do reguły dodawaniareguły dodawania.
Natomiast jeżeli obliczanie liczby wszystkich możliwości będziemy rozkładali na kolejne etapy, to zazwyczaj odwołamy się przy tym do reguły mnożeniareguły mnożenia.
W rozwiązaniu pierwszego przykładu pokażemy też, że jeden ze sposobów uzyskania wyniku opiera się na zastosowaniu reguły równolicznościreguły równoliczności.
Obliczymy, ile jest pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są podzielne przez .
Rozwiązanie
Przypomnijmy, że liczba naturalna jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest lub .
Rozpatrzmy więc dwa rozłączne przypadki:
(1) gdy ostatnią cyfrą szukanej liczby pięciocyfrowej jest ; wtedy rozmieszczeń bez powtórzeń cyfr z pozostałych dziewięciu na czterech pierwszych miejscach jest ,
(2) gdy ostatnią cyfrą szukanej liczby pięciocyfrowej jest ; wtedy - ponieważ na pierwszym miejscu nie możemy zapisać cyfry - cyfrę na pierwszym miejscu z pozostałych do wypełnienia czterech możemy wybrać na sposobów, a cyfry na pozostałych miejscach możemy rozmieścić bez powtórzeń na sposobów. Zatem na podstawie reguły mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że wszystkich możliwości jest w tym przypadku .
Korzystamy z reguły dodawaniareguły dodawania, skąd dostajemy ostatecznie, że wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są podzielne przez jest .
Liczbę wszystkich możliwości w przypadku (2) można również obliczyć, korzystając z:
reguły równolicznościreguły równoliczności; zauważmy mianowicie, że po wstawieniu na ostatnim miejscu cyfry pozostałe cyfry można wybrać na sposobów. Ponadto cyfra to jedyna z dostępnych dziewięciu, której nie możemy wstawić na pierwszym miejscu. Zatem na pierwszym miejscu można wpisać osiem z dziewięciu dostępnych cyfr, więc wszystkich liczb pięciocyfrowych, które w tym przypadku spełniają warunki zadania jest ,
reguły dodawaniareguły dodawania; zauważmy mianowicie, że po wstawieniu na ostatnim miejscu cyfry pozostałe cyfry można wybrać na sposobów. Ponieważ cyfra nie może wystąpić na pierwszym miejscu, więc wszystkie przypadki z cyfrą zapisaną na pierwszym miejscu należy odrzucić. Jest ich tyle, ile wyborów cyfr spośród na trzech środkowych miejscach, czyli . Oznacza to, że wszystkich liczb pięciocyfrowych, które w tym przypadku spełniają warunki zadania jest .
Kwadrat o boku podzielono na kwadracików o boku - te kwadraciki będziemy nazywać polami.
Następnie w każde spośród szesnastu pól kwadratu wpisujemy jedną liczbę wybraną ze zbioru , przy czym wybrana liczba może być wpisana co najwyżej raz. Wymagamy ponadto, żeby pola, które przecina przekątna były wypełnione wyłącznie liczbami parzystymi, a pola, które przecina przekątna były wypełnione wyłącznie liczbami nieparzystymi.
Wykażemy, że wszystkich sposobów wypełnienia pól kwadratu według powyższych warunków jest więcej niż .
Dowód
Obliczenia przeprowadzimy w trzech etapach.
W pierwszym etapie rozmieścimy różne liczby parzyste na czterech polach, które przecina przekątna .
Ponieważ dostępnych jest liczb parzystych, więc wszystkich możliwości w tym etapie jest .
W drugim etapie rozmieścimy różne liczby nieparzyste na czterech polach, które przecina przekątna .
Ponieważ dostępnych jest liczb nieparzystych, więc wszystkich możliwości w tym etapie jest .
W trzecim etapie rozmieścimy różne liczby spośród pozostałych na polach, które jeszcze nie zostałe wypełnione - wszystkich możliwości w tym etapie jest .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia otrzymujemy ostatecznie, że wszystkich sposobów wypełnienia pól kwadratu według powyższych warunków jest
.
To spostrzeżenie kończy dowód.
Obliczymy, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, których trzy pierwsze cyfry są nieparzyste, pozostałe cztery cyfry są parzyste oraz w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra podzielna przez .
Rozwiązanie
Na wstępie zauważmy, że:
wśród cyfr zapisu dziesiętnego jest pięć nieparzystych: , , , , , przy czym jedna z nich, , dzieli się przez ,
wśród cyfr zapisu dziesiętnego jest pięć parzystych: , , , , , przy czym jedna z nich, , dzieli się przez .
Rozpatrujemy grupy cyfr określone warunkami zadania.
Trzy pierwsze cyfry mają być nieparzyste i różne, zatem można je zapisać na sposobów. Jeśli nie będzie wśród nich cyfry , to wtedy trzy pierwsze cyfry można zapisać na sposoby. Wobec tego trzy pierwsze cyfry wśród których jest cyfra 7 można - korzystając z reguły dodawaniareguły dodawania - zapisać na sposobów.
Cztery ostatnie cyfry mają być parzyste i różne, więc można je zapisać na sposobów. Jeśli nie będzie wśród nich cyfry , to wtedy cztery ostatnie cyfry można zapisać na sposoby. Oznacza to, że cztery ostatnie cyfry wśród których jest cyfra można zapisać na sposobów.
Wynika stąd, że liczbę spełniającą warunki zadania możemy otrzymać w jednym z dwóch rozłącznych przypadków:
(1) kiedy wśród trzech pierwszych cyfr jest siódemka i wśród czterech ostatnich nie ma zera; korzystamy z reguły mnożeniareguły mnożenia i stwierdzamy, że wszystkich takich liczb siedmiocyfrowych jest ,
(2) kiedy wśród trzech pierwszych cyfr nie ma siódemki i wśród czterech ostatnich jest zero; korzystamy z reguły mnożeniareguły mnożenia i stwierdzamy, że wszystkich takich liczb siedmiocyfrowych jest .
Korzystając z reguły dodawaniareguły dodawania otrzymujemy ostatecznie, że wszystkich liczb siedmiocyfrowych, które spełniają warunki zadania jest .
Aby ustalić, na ile sposobów można zapisać trzy pierwsze cyfry wśród których jest cyfra można rozumować następująco: miejsce dla cyfry możemy wybrać na sposoby, a pozostałe dwie cyfry – na sposoby, więc wszystkich takich możliwości jest .
Rozumując podobnie obliczymy, że liczba sposobów, na które można zapisać cztery ostatnie cyfry wśród których jest cyfra , jest równa .
Wyznaczymy wszystkie pary liczb całkowitych takich, że , które spełniają równanie
.
Rozwiązanie
Przekształcamy kolejno zadane równanie:
.
Ponieważ ciągciąg określony dla wzorem ogólnym jest rosnący oraz , więc równanie jest spełnione dla oraz każdej liczby całkowitej , która spełnia warunek .
Oznacza to, że jest par spełniających warunki zadania: , , , , .
Słownik
–wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru –elementowego, gdzie
Liczba wszystkich -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru -elementowego jest równa
liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z sposobów, druga – na jeden z sposobów, trzecia – na jeden z sposobów i tak dalej do -tej czynności, która może zakończyć się na jeden z sposobów, jest równa
Dwa zbiory i są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru oraz każdemu elementowi zbioru przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru
jeżeli zbiory są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów :
funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste