Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W poniższych przykładach pokażemy wykorzystanie własności wariacji bez powtórzeńwariacja bez powtórzeńwariacji bez powtórzeń.

W rozwiązaniach tych przykładów będziemy stosować twierdzenie o liczbie wariacji bez powtórzeńliczba wszystkich k‑elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowegotwierdzenie o liczbie wariacji bez powtórzeń.

Jeżeli proponowana metoda rozwiązania będzie polegała na analizie rozłącznych przypadków, to przy obliczaniu liczby wszystkich możliwości z zasady będziemy odwoływać się do reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania.

Natomiast jeżeli obliczanie liczby wszystkich możliwości będziemy rozkładali na kolejne etapy, to zazwyczaj odwołamy się przy tym do reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia.

W rozwiązaniu pierwszego przykładu pokażemy też, że jeden ze sposobów uzyskania wyniku opiera się na zastosowaniu reguły równolicznościreguła równolicznościreguły równoliczności.

Przykład 1

Obliczymy, ile jest pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są podzielne przez 5.

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

Rozpatrzmy więc dwa rozłączne przypadki:

  • (1) gdy ostatnią cyfrą szukanej liczby pięciocyfrowej jest 0; wtedy rozmieszczeń bez powtórzeń 4 cyfr z pozostałych dziewięciu na czterech pierwszych miejscach jest V94=9!9-4!=9!5!=9·8·7·6=3024,

  • (2) gdy ostatnią cyfrą szukanej liczby pięciocyfrowej jest 5; wtedy - ponieważ na pierwszym miejscu nie możemy zapisać cyfry 0 -  cyfrę na pierwszym miejscu z pozostałych do wypełnienia czterech możemy wybrać na 8 sposobów, a cyfry na pozostałych 3 miejscach możemy rozmieścić bez powtórzeń na V83 sposobów. Zatem na podstawie reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że wszystkich możliwości jest w tym przypadku 8·V83=8·8!8-3!=8·8!5!=8·8·7·6=2688.

Korzystamy z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania, skąd dostajemy ostatecznie, że wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są podzielne przez 5 jest 3024+2688=5712.

bg‑gray1

Uwaga

Liczbę wszystkich możliwości w przypadku (2) można również obliczyć korzystając z:

  • reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności; zauważmy mianowicie, że po wstawieniu na ostatnim miejscu cyfry 5 pozostałe 4 cyfry można wybrać na V94 sposobów. Ponadto cyfra 0 to jedyna z dostępnych dziewięciu, której nie możemy wstawić na pierwszym miejscu. Zatem na pierwszym miejscu można wpisać osiem z dziewięciu dostępnych cyfr, więc wszystkich liczb pięciocyfrowych, które w tym przypadku spełniają warunki zadania jest 89·V94=89·9!5!=89·9·8·7·6=8·8·7·6=2688,

  • reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania; zauważmy mianowicie, że po wstawieniu na ostatnim miejscu cyfry 5 pozostałe 4 cyfry można wybrać na V94 sposobów. Ponieważ cyfra 0 nie może wystąpić na pierwszym miejscu, więc wszystkie przypadki z cyfrą 0 zapisaną na pierwszym miejscu należy odrzucić. Jest ich tyle, ile wyborów 3 cyfr spośród 8 na trzech środkowych miejscach, czyli V83. Oznacza to, że wszystkich liczb pięciocyfrowych, które w tym przypadku spełniają warunki zadania jest V94-V83=9!5!-8!5!=9·8·7·6-8·7·6=9-1·8·7·6==8·8·7·6=2688.

Przykład 2

Kwadrat ABCD o boku 4 podzielono na 16 kwadracików o boku 1 - te kwadraciki będziemy nazywać polami.

R121JeqGSKxL5

Następnie w każde spośród szesnastu pól kwadratu ABCD wpisujemy jedną liczbę wybraną ze zbioru A=1,2,3,,19, przy czym wybrana liczba może być wpisana co najwyżej raz. Wymagamy ponadto, żeby pola, które przecina przekątna AC były wypełnione wyłącznie liczbami parzystymi, a pola, które przecina przekątna BD były wypełnione wyłącznie liczbami nieparzystymi.

Wykażemy, że wszystkich sposobów wypełnienia pól kwadratu według powyższych warunków jest więcej niż 1014.

Dowód

Obliczenia przeprowadzimy w trzech etapach.

W pierwszym etapie rozmieścimy różne liczby parzyste na czterech polach, które przecina przekątna AC.

Ponieważ dostępnych jest 9 liczb parzystych, więc wszystkich możliwości w tym etapie jest V94=9!5!=9·8·7·6=3024.

W drugim etapie rozmieścimy różne liczby nieparzyste na czterech polach, które przecina przekątna BD.

Ponieważ dostępnych jest 10 liczb nieparzystych, więc wszystkich możliwości w tym etapie jest V104=10!6!=10·9·8·7=5040.

W trzecim etapie rozmieścimy różne liczby spośród pozostałych 11 na 8 polach, które jeszcze nie zostałe wypełnione - wszystkich możliwości w tym etapie jest V118=11!3!=11·10·9·8·7·6·5·4=6652800.

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia otrzymujemy ostatecznie, że wszystkich sposobów wypełnienia pól kwadratu według powyższych warunków jest

V94·V104·V118=3024·5040·6652800=101395058688000=

=1,01395058688·1014>1014.

To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykład 3

Obliczymy, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, których trzy pierwsze cyfry są nieparzyste, pozostałe cztery cyfry są parzyste oraz w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra podzielna przez 7.

Rozwiązanie

Na wstępie zauważmy, że:

  • wśród cyfr zapisu dziesiętnego jest pięć nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, przy czym jedna z nich, 7, dzieli się przez 7,

  • wśród cyfr zapisu dziesiętnego jest pięć parzystych: 0, 2, 4, 6, 8, przy czym jedna z nich, 0, dzieli się przez 7.

Rozpatrujemy grupy cyfr określone warunkami zadania.

Trzy pierwsze cyfry mają być nieparzyste i różne, zatem można je zapisać na V53=5!2!=5·4·3=60 sposobów. Jeśli nie będzie wśród nich cyfry 7, to wtedy trzy pierwsze cyfry można zapisać na V43=4!1!=4·3·2=24 sposoby. Wobec tego trzy pierwsze cyfry wśród których jest cyfra 7 można - korzystając z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania - zapisać na V53-V43=60-24=36 sposobów.

Cztery ostatnie cyfry mają być parzyste i różne, więc można je zapisać na V54=5!1!=5·4·3·2=120 sposobów. Jeśli nie będzie wśród nich cyfry 0, to wtedy cztery ostatnie cyfry można zapisać na V44=4!0!=4·3·2·1=24 sposoby. Oznacza to, że cztery ostatnie cyfry wśród których jest cyfra 0 można zapisać na V54-V44=120-24=96 sposobów.

Wynika stąd, że liczbę spełniającą warunki zadania możemy otrzymać w jednym z dwóch rozłącznych przypadków:

  • (1) kiedy wśród trzech pierwszych cyfr jest siódemka i wśród czterech ostatnich nie ma zera; korzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia i stwierdzamy, że wszystkich takich liczb siedmiocyfrowych jest V53-V43·V44=36·24=864,

  • (2) kiedy wśród trzech pierwszych cyfr nie ma siódemki i wśród czterech ostatnich jest zero; korzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia i stwierdzamy, że wszystkich takich liczb siedmiocyfrowych jest V43·V54-V44=24·96=2304.

Korzystając z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy ostatecznie, że wszystkich liczb siedmiocyfrowych, które spełniają warunki zadania jest 864+2304=3168.

bg‑gray1

Uwaga

Aby ustalić, na ile sposobów można zapisać trzy pierwsze cyfry wśród których jest cyfra 7 można rozumować następująco: miejsce dla cyfry 7 możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe dwie cyfry – na V42 sposoby, więc wszystkich takich możliwości jest 3·V42=3·4·3=36.

Rozumując podobnie obliczymy, że liczba sposobów, na które można zapisać cztery ostatnie cyfry wśród których jest cyfra 0, jest równa 4·V43=4·4·3·2=96.

Przykład 4

Wyznaczymy wszystkie pary k,n liczb całkowitych takich, że 1kn, które spełniają równanie

42·Vnk=Vn+2k+2.

Rozwiązanie

Przekształcamy kolejno zadane równanie:

42·Vnk=Vn+2k+2

42·n!n-k!=n+2!n+2-k-2!

42·n!n-k!=n!·n+1·n+2n-k!

42=n+1·n+2.

Ponieważ ciągciągciąg określony dla n1 wzorem ogólnym an=n+1·n+2 jest rosnący oraz a5=6·7=42, więc równanie jest spełnione dla n=5 oraz każdej liczby całkowitej k, która spełnia warunek 1k5.

Oznacza to, że jest 5 par k,n spełniających warunki zadania: 1,5, 2,5, 3,5, 4,5, 5,5.

Słownik

wariacja bez powtórzeń
wariacja bez powtórzeń

k–wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru n–elementowego, gdzie 1kn

liczba wszystkich k‑elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego
liczba wszystkich k‑elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego

Liczba Vnk wszystkich k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa

Vnk=n!n-k!=n·n-1··n-k+1

reguła mnożenia
reguła mnożenia

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z k1 sposobów, druga – na jeden z k2 sposobów, trzecia – na jeden z k3 sposobów i tak dalej do n-tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kn sposobów, jest równa

k1·k2··kn

reguła równoliczności
reguła równoliczności

Dwa zbiory AB są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B oraz każdemu elementowi zbioru B przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru A

reguła dodawania
reguła dodawania

jeżeli zbiory A1,A2,,An są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru A1A2An jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów A1,A2,,An: A1A2An=A1+A2++An

ciąg
ciąg

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste