Sposób $\text{I}$:

Prosta łącząca środek okręgu z podanym punktem ma współczynnik kierunkowy $a=\frac{2+2}{1-3}=-2$.

Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi zatem $a=\frac{1}{2}$.

Prosta styczna do okręgu przechodzi przez punkt $\left(1,2\right)$, zatem otrzymujemy równanie $2=\frac{1}{2}·1+b$, więc $b=\frac{3}{2}$.

Styczna do okręgu wyraża się wzorem $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.

Sposób $\text{II}$:

Wykorzystamy wzór na styczną do okręgu w podanym punkcie.

Wzór na styczną do okręgu jest postaci $\left(x_a-a\right)\left(x-a\right)+\left(y_b-b\right)\left(y-b\right)=r^2$.

Odczytujemy dane z równania okręgu $S=\left(3,-2\right)$, $r=\sqrt{20}$ oraz $\left(x_a,y_b\right)=\left(1,2\right)$.

Podstawiamy do równania stycznej do okręgu i otrzymujemy $\left(1-3\right)\left(x-3\right)+\left(2+2\right)\left(y+2\right)=20$.

Po uproszczeniu mamy postać stycznej $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.