Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą, jak odczytywać własności funkcji kwadratowej na podstawie jej wykresu. Rozwiąż zadania znajdujące się pod animacją i porównaj z odpowiedziami.

Rc9hgO80g00N6

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D19VDeuSD

Film nawiązujący do treści materiału dotyczący odczytywania własności funkcji kwadratowej na podstawie jej wykresu.

Polecenie 2

Na podstawie wykresu funkcji określ: współrzędne wierzchołka, oś symetrii paraboli, miejsca zerowe, zbiór wartości funkcji, przedziały monotoniczności. Zapisz tę funkcję w postaci kanonicznej.

RSzQeyuit3eCf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 3 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie A o współrzędnych nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt B o współrzędnych nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt C o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Z wykresu odczytujemy:

punkt $A$ jest wierzchołkiem paraboli, współrzędne wierzchołka: $p = - 1$ i $q = - 1$ ;
oś symetrii paraboli: $x = - 1$ ;
miejsce zerowe $x_{2} = 0$ , drugie miejsce zerowe możemy podać, korzystając z warunku $2 p = x_{1} + x_{2}$ , stąd $x_{1} = 2 p - x_{2}, p = - 1$ , więc $x_{1} = 2 (- 1) - 0 = - 2$ ;
zbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = ⟨- 1; + \infty)$ ;
funkcja jest malejąca dla $x \in (- \infty; - 1)$ , a rosnąca dla $x \in (- 1; \infty)$ .

Mając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Podstawiając $p = - 1$ i $q = - 1$ , otrzymujemy $f (x) = a {(x + 1)}^{2} - 1$ .

Aby wyznaczyć wartość współczynnika $a$ , wybieramy na przykład punkt $C$ . Punkt $C = (0; 0)$ leży na paraboli, czyli $f (0) = 0$ . Po podstawieniu mamy:

$f (0) = a {(0 + 1)}^{2} - 1 = a - 1$

$a - 1 = 0$ , więc

$a = 1$ .

Wzór funkcji w postaci kanonicznej: $f (x) = {(x + 1)}^{2} - 1$ .

Polecenie 3

Na podstawie wykresu podaj zbiór wartości funkcji, określ przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz zapisz tę funkcję w postaci iloczynowej.

R11h7EdvDahX4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie B o współrzędnych nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez punkt A o współrzędnych nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Odczytujemy zbiór wartości funkcji z wykresu: $Z W_{f} = (- \infty; 4⟩$ .

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- 2; 2)$ .

Aby zapisać funkcję w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , musimy wyznaczyć: $a$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ .

Odczytujemy z wykresu:

$x_{1} = - 2$ ,

$x_{2} = 2$ , ponieważ wykres jest symetryczny względem osi $X$ .

Po podstawieniu $x_{1} = - 2$ i $x_{2} = 2$ , otrzymujemy:

$f (x) = a (x + 2) (x - 2)$ .

Aby wyznaczyć współczynnik $a$ , wykorzystamy fakt, że $B = (0; 4)$ leży na paraboli, czyli $f (0) = 4$ .

$f (0) = a (0 + 2) (0 - 2) = - 4 a$ ,

a ponieważ $f (0) = 4$ , to

$- 4 a = 4$ , więc

$a = - 1$ .

Postać iloczynowa funkcji: $f (x) = - (x + 2) (x - 2)$ .

Przeczytaj

Sprawdź się