Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą okręgi styczne zewnętrznie, a następnie rozwiąż polecenia.

RWk7HrnNOXacE

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1CafZDVI

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego okręgów zewnętrznych stycznie na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Polecenie 2

Sprawdź, czy okręgi ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 81$ i ${(x - 6)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 16$ są styczne zewnętrznie.

Aby okręgi były styczne zewnętrznie, musi być spełniony warunek $|O_{1} O_{2}| = r_{2} + r_{1}$ .

Okrąg o równaniu ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 81$ ma środek w punkcie $O_{1} = (1, 4)$ i promień $r_{1} = 9$ .

Okrąg o równaniu ${(x - 6)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 16$ ma środek w punkcie $O_{2} = (6, - 8)$ i promień $r_{2} = 4$ .

Ponieważ $|O_{1} O_{2}| = \sqrt{{(6 - 1)}^{2} + {(- 8 - 4)}^{2}} = \sqrt{{(5)}^{2} + {(- 12)}^{2}} = \sqrt{169} = 13$ oraz $r_{1} = 9$ i $r_{2} = 4$ , to spełniony jest warunek konieczny i wystarczający styczności zewnętrznej dwóch okręgów:

$r_{1} + r_{2} = 9 + 4 = 13 = |O_{1} O_{2}|$ .

Polecenie 3

Okręgi $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ i $x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ są styczne zewnętrznie. Oblicz współrzędne punktu styczności.

Aby wyznaczyć współrzędne punktu styczności, rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4 (1) \\ x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9 (2) \end{cases}$

W tym celu odejmujemy stronami od równania $(1)$ równanie $(2)$ i otrzymujemy

${(y - 1)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 5$ .

Po przekształceniach:

$y^{2} - 2 y + 1 - (y^{2} + 8 y + 16) = - 5$

$y^{2} - 2 y + 1 - y^{2} - 8 y - 16 = - 5$

$- 10 y - 15 = - 5$

otrzymujemy $y = - 1$ .

Podstawiając $y = - 1$ do pierwszego równania: $x^{2} + {(- 1 - 1)}^{2} = 4$ , otrzymujemy $x = 0$ .

Punkt styczności ma współrzędne: $x = 0$ , $y = - 1$ .

Przeczytaj

Sprawdź się