Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozważmy dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O1=a1,b1 i promieniu długości r1 oraz okrąg o środku w punkcie O2=a2,b2 i promieniu długości r2.

Dwa okręgi mające dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy stycznymi. Punkt wspólny nazywamy wówczas punktem styczności. Okręgi mogą być styczne zewnętrznie lub styczne wewnętrznie.

Okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środków okręgów jest równa sumie długości ich promieni:

O1O2=r1+r2.

Jest to warunek konieczny i wystarczający styczności zewnętrznej dwóch okręgów.

R1XPBvfL9g5lb
Przykład 1

Sprawdzimy, czy okręgi o promieniach r1=10, r2=16, których odległość między środkami wynosi 26, są styczne zewnętrznie.

Rozwiązanie

Zauważmy, że zachodzi warunek O1O2=r1+r2=10+16=26. Zatem okręgi te są styczne zewnętrznie.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy okręgi o równaniach x+52+y-32=16x+22+y+12=1 są styczne zewnętrznie.

Rozwiązanie

Okrąg o równaniu x+52+y-32=16 ma środek w punkcie O1=-5,3 i promień długości r1=4.

Okrąg o równaniu x+22+y+12=1 ma środek w punkcie O2=-2,-1 i promień długości r2=1.

Obliczamy odległość środków tych okręgów:

O1O2=-2--52+-1-32=32+-42=25=5.

Zatem O1O2=r2+r1=4+1=5, co oznacza, że okręgi są styczne zewnętrznie.

Przykład 3

Dany jest okrąg K1 o równaniu x2+4x+y2+4y+7=0. Wyznaczymy równanie okręgu K o środku w punkcie O=4,6stycznego zewnętrznieokręgi styczne zewnętrzniestycznego zewnętrznie do okręgu K1.

Rozwiązanie

Sprowadzamy równanie okręgu K1 do postaci kanonicznej.

Po przekształceniach

x2+4x+y2+4y+7=
=x2+4x+4-4+y2+4y+4-4+7=x+22+y+22-1

otrzymujemy:

x+22+y+22=1.

Stąd: współrzędne środka okręgu K1: O1=-2,-2, a jego promień ma długość r1=1.

Równanie okręgu K o środku w punkcie O=4,6 jest postaci x-42+y-62=r2.

Okręgi K1K są styczne zewnętrznie, więc zachodzi warunek OO1=r+r1.

Aby obliczyć odległość między środkami okręgów skorzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów: AB=xB-xA2+yB-yA2.

Mamy więc:

OO1=4--22+6--22=62+82=100=10.

Z warunku OO1=r+r1 wyznaczamy r:

r=OO1-r1=10-1, co daje r=9.

Zatem równanie okręgu K ma postać: x-42+y-62=81.

Przykład 4

Dane są dwa okręgi: K1 o równaniu x2+y2+2y-3=0K2 o równaniu x2+y2-8x-4y+19=0. Napiszemy równanie okręgu o najmniejszym promieniu, stycznego zewnętrznie do okręgów K1K2.

Rozwiązanie

Środek okręgu stycznego zewnętrznie do okręgów K1K2 o najmniejszym promieniu długości r jest współliniowy z punktami O1O2, zatem leży na prostej O1O2.

Wyznaczymy współrzędne środków okręgów K1K2. W tym celu ich równania zapisujemy w postaci x-a2+y-b2=r2.

K1: x2+y2+2y-3=0

x2+y2+2y+1-1-3=0

x2+y+12=4

K2: x2+y2-8x-4y+19=0

x2-8x+16-16+y2-4y+4-4+19=0

x-42+y-22=1

Okrąg K1 ma środek w punkcie O1=0,-1 i promień długości r1=2.

Okrąg K2 ma środek w punkcie O2=4,2 i promień długości r2=1.

Okrąg K ma środek w punkcie O=a,b i promień długości r.

Jeżeli okręgi K1K są styczne zewnętrznie, to O1O=r1+r=2+r.

Jeżeli okręgi K2K są styczne zewnętrznie, to O2O=r2+r=1+r.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RCQ4KVJ2HeATA

Zauważmy że: A=a,-1, B=4,-1.

Trójkąt O1BO2 jest prostokątny, zatem skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

O1B2+BO22=O1O22.

Ponieważ O1O=r1+2r+r2=2+2r+1=3+2r, O1B=4BO2=3, to

42+32=3+2r2

25=3+2r2,

stąd 3+2r=5, zatem r=1.

Wyznaczamy teraz współrzędne środka okręgu K.

Zauważmy, że: O1B=4, BO2=3AO=b+1.

Ponadto, gdy r=1, to O1O=2+r=3, a O2O=1+r=2.

AOBO2, zatem z twierdzenia Talesa możemy zapisać:

  1. O1BO1A=O1O2O1O, co daje 4a=53 i stąd a=125,

  1. AOO1O=BO2O1O2, co daje AO3=35 i stąd AO=95.

Ponieważ AO=b+1, to b=AO-1=95-1=45.

Równanie szukanego okręgu: x-1252+y-452=1.

Przykład 5

Dany jest okrąg K1: x2+y2=4 i prosta y=-4. Wykażemy, że środki okręgów stycznych do danej prostej oraz stycznych zewnętrznie do danego okręgu należą do pewnej paraboli.

Rozwiązanie

Okrąg K1: x2+y2=4 ma środek w punkcie O=0,0 i promień długości r1=2.

Oznaczmy przez K2 okrąg styczny do okręgu K1 i prostej y=-4, jego środek przez Sx,y a długość promienia przez r.

R5AfJmhWmHyMX

Z warunku styczności okręgu K2 do okręgu K1 mamy: OS=r1+r=2+r, co oznacza, że promień okręgu K2 ma długość r=OS-2.

Długość odcinka OS wynosi OS=x2+y2, więc r=x2+y2-2.

Ze styczności okręgu K2 o środku S=x,y do prostej y=-4 wynika, że r=0·x+1·y+402+12=y+4.

Porównując obydwa warunki mamy:

x2+y2-2=y+4,

stąd y+4+2=x2+y2.

Zauważmy, że y>-4. Wobec tego y+6=x2+y2.

Podnosząc obie strony równości do kwadratu otrzymujemy:

y2+12y+36=x2+y2,

czyli y=112x2-3.

Obrazem geometrycznym szukanego zbioru jest parabola określona wzorem y=112x2-3.

Przykład 6

Dany jest okrągokrąg o środku O i promieniu długości rokrąg o środku w punkcie A i promieniu długości 4 oraz dwa okręgi położone tak, jak na rysunku.

R166Li8ATO5CX

Obliczymy obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki tych okręgów.

Rozwiązanie

Okrąg KA ma środek w punkcie A i promień długości rA=4.

Okrąg KB ma środek w punkcie B i promień długości rB.

Okrąg KC ma środek w punkcie C i promień długości rC.

Obwód L trójkąta ABC jest sumą długości jego boków: L=AB+BC+CA.

Okręgi KAKB są styczne wewnętrznie, więc AB=rA-rB=4-rB.

Okręgi KAKC są styczne wewnętrznie, więc CA=rA-rC=4-rC.

Okręgi KBKC są styczne zewnętrznie, więc BC=rB+rC.

Zatem L=4-rB+4-rC+rB+rC=8.

Obwód trójkąta przedstawionego na rysunku wynosi 8.

Słownik

okrąg o środku O i promieniu długości r
okrąg o środku O i promieniu długości r

zbiór wszystkich punktów P płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r

okręgi styczne zewnętrznie
okręgi styczne zewnętrznie

dwa okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość środków tych okręgów jest równa sumie długości ich promieni