Rozpatrujemy liczbę naturalną, która spełnia warunki zadania i jej kolejne cyfry (patrząc od lewej) oznaczamy przez $\left(x_1+1\right),x_2,x_3,x_4$.
Wtedy każda z liczb $x_1,x_2,x_3,x_4$ jest nieujemną liczbą całkowitą, przy czym $x_1<9$ oraz $x_2,x_3,x_4<10$, a także te cztery liczby spełniają równanie
$\left(x_1+1\right)+x_2 +x_3+x_4=12$.

Przekształcamy to równanie do postaci
$x_1+x_2 +x_3+x_4=11$
i zauważamy, że wszystkich jego rozwiązań w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3,x_4$ jest $\left(\begin{array}{c}11+3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\ 3\end{array}\right)=\frac{14·13·12}{3·2}=364$.

Obliczamy, ile jest takich rozwiązań tego równania, które nie spełniają opisanych powyżej ograniczeń dla liczb nieujemnych $x_1,x_2,x_3,x_4$.

W tym celu oznaczamy:

• przez $A_1$ – zbiór takich jego rozwiązań, że $x_1\ge 9$,

• przez $A_2$ – zbiór takich jego rozwiązań, że $x_2\ge 10$,

• przez $A_3$ – zbiór takich jego rozwiązań, że $x_3\ge 10$

• przez $A_4$ – zbiór takich jego rozwiązań, że $x_4\ge 10$.

Obliczamy liczbę elementów zbioru $A_1$.
Oznaczamy $t_1=x_1-9$. Wtedy $x_1=t_1+9$ oraz $t_1\ge 0$.
Uwzględniamy tę zależność w rozpatrywanym równaniu, skąd dostajemy, że liczby nieujemne $t_1,x_2,x_3,x_4$ spełniają równanie
$\left(t_1+9\right)+x_2+x_3+x_4=11$,
a więc $t_1+x_2+x_3+x_4=2$.

Ponieważ rozwiązań otrzymanego równania jest $\left(\begin{array}{c}2+3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=10$, więc $\left|A_1\right|=10$.

Z określenia zbiorów $A_2$, $A_3$, $A_4$ przez warunki, który spełniają liczby nieujemne $x_2$, $x_3$, $x_4$ wynika, że $\left|A_2\right|=\left|A_3\right|=\left|A_4\right|$.

Obliczamy dla przykładu liczbę elementów zbioru $A_2$.
Oznaczamy w tym celu $t_2=x_2-10$.
Wtedy $x_2=t_2+10$ oraz $t_2\ge 0$.
Uwzględniamy tę zależność w rozpatrywanym równaniu, skąd dostajemy, że liczby nieujemne $x_1,t_2,x_3,x_4$ spełniają równanie
$x_1+\left(t_2+10\right)+x_3+x_4=11$,
a więc $x_1+t_2+x_3+x_4=1$.

Ponieważ rozwiązań otrzymanego równania jest $\left(\begin{array}{c}1+3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=4$, więc $\left|A_2\right|=4$, skąd $\left|A_3\right|=\left|A_4\right|=4$.

Zauważamy, że ponieważ suma wszystkich czterech liczb nieujemnych $x_1,x_2,x_3,x_4$ jest równa $11$, więc zbiory $A_1,A_2,A_3,A_4$ są parami rozłączne, skąd
$\left|A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\right|=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+\left|A_3\right|+\left|A_4\right|=10+3·4=22$.

Oznacza to, że jest jest $364-22=342$ wszystkich rozwiązań równania
$x_1+x_2+x_3+x_4=11$
w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3,x_4$ , gdzie $1\le x_1<9$ oraz $x_2,x_3,x_4<10$.

W ten sposób wykazaliśmy również, że są $342$ czterocyfrowe liczby naturalne, których suma cyfr jest równa $12$.