Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą wykorzystanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych. Rozwiąż zadania zapisane w Poleceniu 2 i w Poleceniu 3. Porównaj z odpowiedziami.

Rs3hus9vcOM0G

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1FhOQxG0

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego wykorzystania własności funkcji kwadratowej w geometrii.

Polecenie 2

Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego, wiedząc, że są one kolejnymi liczbami parzystymi.

Oznaczmy: $x$ – liczba dodatnia parzysta.

Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami parzystymi, czyli wynoszą: $x$ , $x + 2$ , $x + 4$ .

Trójkąt jest prostokątny – przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $x + 4$ (najdłuższy bok w trójkącie).

R1X15GGBD7eg2

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długości x oraz x dodać dwa oraz z przeciwprostokątną o długości x dodać cztery.

Z twierdzenia Pitagorasa: $x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 8 x + 16$

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Po redukcji wyrażeń podobnych otrzymujemy: $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ .

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego, aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji.

$∆ = b^{2} - 4 a c = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 16 + 48 = 64$

$\sqrt{∆} = \sqrt{64} = 8$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- (- 4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 < 0$

Długość nie może być ujemna więc $x = 6$ .

Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami parzystymi, czyli wynoszą: $6$ , $8$ i $10$ .

Polecenie 3

Pole prostokąta wynosi $28 {cm}^{2}$ , a jego obwód $22 cm$ . Oblicz długości boków tego prostokąta.

RREEomE14y90c

Ilustracja przedstawia prostokąt o długości boków b oraz a równe x.

Wzór na pole prostokąta: $P = a b$ .

Wzór na obwód prostokąta: $L = 2 a + 2 b$ .

Przez $x$ oznaczmy długość boku $a$ .

Z treści zadania: $L = 22 cm$ .

$22 = 2 x + 2 b | : 2$

$11 = x + b$

Otrzymujemy zatem:

$b = 11 - x$ , $0 < x < 11$ .

Z treści zadania $P = 28 {cm}^{2}$ , więc $28 = x b$ .

Podstawiamy do powyższego równania $b = 11 - x$ .

$28 = x (11 - x)$

$28 = 11 x - x^{2}$

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego, aby rozwiązać równanie.

$∆ = b^{2} - 4 a c = 11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 28) = 121 - 112 = 9$

$\sqrt{∆} = \sqrt{9} = 3$

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- 11 + \sqrt{9}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 11 + 3}{- 2} = \frac{- 8}{- 2} = 4$

Dla $x_{1}$ mamy: $b_{1} = 11 - x_{1} = 11 - 4 = 7$ .

Dla $x_{2}$ mamy: $b_{2} = 11 - x_{2} = 11 - 4 = 7$ .

Prostokąt ma boki o długościach: $4 cm$ i $7 cm$ .

Przeczytaj

Sprawdź się