Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z rozwiązaniem zadania z pierwszego przykładu w zamieszczonej animacji.

RpZ0sjAHXkQba

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1gOHjWvE

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej obliczeń geometrycznych z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów.

Polecenie 2

Wykorzystując metodę omówioną w pierwszym przykładzie zamieszczonym w tej animacji, oblicz długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ , w którym $|∢ B A C| = 60 °$ , $|B C| = 13$ i $|A C| = 8$ . Porównaj otrzymany rezultat z rezultatem z przykładu. Zastanów się, co jest przyczyną innego rezultatu.

Sporządźmy rysunek pomocniczy i oznaczmy przez $c$ długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ .

RhXbC88vq5liM

Ilustracja przedstawia trójkąt AB C. Bok AB ma miarę c, bok CB ma miarę 13 a bok AC ma miarę 8. Kąt przy wierzchołku A ma miarę 60 stopni.

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy równanie $13^{2} = 8^{2} + c^{2} - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos 60 °$ . Stąd otrzymujemy kolejno:
$169 = 64 + c^{2} - 8 c$ , $c^{2} - 8 c + 16 - 121 = 0$ , ${(c - 4)}^{2} - 121 = 0$ , $(c - 4 - 11) (c - 4 + 11) = 0$ , $(c - 15) (c + 7) = 0$ .

Zatem $c = 15$ lub $c = -7$ . Drugie z tych rozwiązań jest ujemne, więc istnieje tylko jeden taki trójkąt $A B C$ , którego bok $A B$ ma długość $15$ . Pozostaje odpowiedź na pytanie dlaczego w tym przypadku otrzymaliśmy tylko jeden trójkąt, a nie dwa, tak jak w przykładzie na filmie. Wystarczy zauważyć, że okrąg o środku $C$ i promieniu $13$ przecina ramię $A B$ kąta $60 °$ tylko w jednym punkcie, gdyż $13 > 8$ . Prostą zawierającą to ramię przecina w dwóch punktach, jak na rysunku.

RR8o90trHo1Hn

Ilustracja przedstawia trójkąt AB C. Bok AB ma miarę 15, bok CB ma miarę 13 a bok AC ma miarę 8. Kąt przy wierzchołku A ma miarę 60 stopni. Przedłużono podstawę AB. Z wierzchołka C poprowadzono prostą na przedłużenie. Z punktu B poprowadzono łuk do miejsca przecięcia prostej, a przedłużenia tworząc punkt B indeks dolny 1 koniec indeksu. Odcinek AB indeks dolny 1 koniec indeksu ma długość 7 jednostek.

Ten drugi punkt $B_{1}$ przecięcia odpowiada drugiemu (ujemnemu) rozwiązaniu naszego równania.

Polecenie 3

Zapoznaj się z rozwiązaniem drugiego zadania w zamieszczonej animacji. Wykorzystując omówioną metodę, oblicz długość przekątnej trapezu równoramiennego o bokach długości $3$ , $5$ , $5$ , $7$ . Jeśli wcześniej nie rozwiązywałeś zadań z sekcji „Sprawdź się”, to po rozwiązaniu tego zadania, wykonaj Ćwiczenie 7 z sekcji „Sprawdź się”.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R4JGOEumoyQUC

Ilustracja przedstawia trapez ABCD. Podstawa AB ma miarę 7, bok BC i AD ma miarę 5, podstawa CD ma miarę 3. Przekątna AC ma miarę d. Kąt przy wierzchołku B ma miarę alfa, a kąt przy wierzchołku D ma miarę beta.

Ponieważ trapez jest równoramienny, więc kąty $A D C$ i $B C D$ są równe, czyli $|∢ A D C| = |∢ D C B| = β$ . Suma kątów jednostronnych $A B C$ i $D C B$ jest równa $180 °$ , gdyż proste $A B$ i $C D$ są równoległe. Zatem $α + β = 180 °$ . Stąd $β = 180 ° - α$ . Z twierdzenie cosinusów dla trójkątów $A B C$ i $A C D$ otrzymujemy

$d^{2} = 7^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos α$ oraz $d^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos β$ . Ponieważ $\cos β = \cos (180 ° - α) = - \cos α$ , więc drugie równanie możemy zapisac w postaci $d^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos α$ . Otrzymujemy zatem

$d^{2} = 49 + 25 - 70 \cdot \cos α$ oraz $d^{2} = 9 + 25 + 30 \cdot \cos α$ ,

czyli

$d^{2} = 74 - 70 \cdot \cos α$ oraz $d^{2} = 34 + 30 \cdot \cos α$

Mnożąc pierwsze równanie przez $3$ , a drugie przez $7$ , otrzymujemy

$3 d^{2} = 222 - 210 \cdot \cos α$ oraz $7 d^{2} = 238 + 210 \cdot \cos α$ .

Dodając stronami te równania otrzymujemy

$10 d^{2} = 460$ , czyli $d^{2} = 46$ . Stąd $d = \sqrt{46}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się