Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami pokazanymi w animacji, a następnie wykonaj polecenia.

R1R3n04iIySX9

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DEYMlbjYJ

Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Wykaż, że symetralna odcinka jest zbiorem punktów, których odległość od obu końców tego odcinka jest taka sama.

Symetralna odcinka jest prostopadła do tego odcinka i przechodzi przez jego środek. Rozważmy odcinek o końcach w punktach $A$ , $B$ . Niech $S$ będzie środkiem tego odcinka. Oznaczmy przez $P$ dowolny punkt leżący na symetralnej. Wtedy trójkąty $A S P$ i $B S P$ , jako trójkąty prostokątne o dwóch przyprostokątnych odpowiednio równych, są przystające. Stąd w szczególności wynika, że $|A P| = |B P|$ , co należało wykazać.

Polecenie 3

Wykaż, że środek okręgu wpisanego w kąt wypukły leży na dwusiecznej tego kąta.

Promienie okręgu poprowadzone do punktów, w których ten okrąg jest styczny do ramion kąta, są do tych ramion prostopadłe. Rozważmy kąt o wierzchołku w punkcie $W$ . Niech $S$ będzie środkiem okręgu, a punkty $A$ , $B$ niech będą punktami, w których ten okrąg jest styczny do ramion kąta. Wtedy trójkąty $W S A$ i $W S B$ są trójkątami prostokątnymi, o równych przeciwprostokątnych (wspólna przeciwprostokątna w obu trójkątach) i odpowiednio równych przyprostokątnych $S A$ i $S B$ . Zatem $△ W S A \equiv △ W S B$ . Stąd w szczególności wynika równość kątów $S W A$ i $S W B$ . Co należało wykazać.

Polecenie 4

Wykaż, że jeśli przekątne trapezu, który nie jest równoległobokiem, dzielą ten trapez na cztery trójkąty, z których dwa są przystające, to ten trapez jest równoramienny.

Rozważmy trapez $A B C D$ , w którym $A B ∥ C D$ . Niech $P$ będzie punktem przecięcia się przekątnych tego trapezu. Jeśli przystające byłyby trójkąty $A P D$ i $B P C$ , to z równości kątów wierzchołkowych $A P D$ i $B P C$ wynikałaby równość odcinków leżących naprzeciw tych kątów, czyli $A D$ i $B C$ . Co należało wykazać.

Pozostaje jednak rozstrzygnąć, że inna para trójkątów nie może być przystająca. Ponieważ trapez ten nie jest równoległobokiem, to w szczególności $|A B| \neq |C D|$ zatem trójkąty $A P B$ i $C P D$ nie mogą być przystające.

Przypuśćmy zatem, że $△ A P D \equiv △ C P D$ . Wtedy kąty obu trójkątów leżące naprzeciw równego (wspólnego) boku $P D$ byłyby równe, czyli trójkąt $A D C$ byłby równoramienny. Stąd odcinek $P D$ , a w konsekwencji przekątna $B D$ , byłyby prostopadłe do przekątnej $A C$ . Ale wówczas trójkąty $A P D$ i $A P B$ , jako trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej $A P$ i równych kątach $B A P$ i $D C P$ (kąty $B A P$ i $D C P$ jako naprzemianległe są równe) są przystające. Stąd otrzymalibyśmy w szczególności, że $|A B| = |C D|$ , co jest sprzeczne z założeniem. Zatem nasze przypuszczenie, że $△ A P D \equiv △ C P D$ było błędne.

Przeczytaj

Sprawdź się