Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą zastosowania pojęcia pola w dowodzeniu twierdzeń. Następnie rozwiąż polecenia znajdujące się pod nią.

RAKHzweBrfWM1

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DUVxDY6X1

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej zastosowań pojęcia pola w dowodzeniu.

Polecenie 2

Wykaż, że jeżeli trójkąt ma dwie wysokości o równych długościach, to jest równoramienny.

Zróbmy odpowiedni rysunek.

RYJGVUMBSJCHA

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Zaznaczono dwie wysokości opuszczone na ramię AC wysokość BD oraz wysokość AE opuszczona na ramie BC. Wysokości są równe i obie oznaczono literą h.

Wprowadzamy następujące oznaczenia: $|C B| = a$ , $|B A| = c$ , $|A C| = b$ , $|A E| = |D B| = h$ , gdzie $A E$ i $D B$ są wysokościami $△ A B C$ .

Mamy wykazać, że $△ A B C$ jest równoramienny.

Zastosujemy wzór na pole trójkąta na dwa sposoby. Wiemy, że: $P = \frac{1}{2} a \cdot h$ oraz $P = \frac{1}{2} b \cdot h$ , zatem: $\frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot h$ , stąd $a = b$ , co oznacza, że trójkąt jest równoramienny. To kończy dowód.

Polecenie 3

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $a = 5$ , $b = 12$ . Wykaż, że długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną wynosi $\frac{60}{13}$ .

Zróbmy odpowiedni rysunek:

R1D8hUIl4uzUJ

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABC. Zaznaczono wysokość h upuszczoną na podstawę AB z wierzchołka C. Przy wierzchołku C znajduje się kąt prosty. Boki figury mają następujące długości: bok AB ma długość c, bok BC ma długość a oraz bok A C ma długość b.

Wprowadźmy oznaczenia: $|∢ A C B| = 90 °$ , $a$ , $b$ – długości przyprostokątnych, $c$ – długość przeciwprostokątnej.

Korzystamy ze wzoru: $P = \frac{1}{2} c \cdot h$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy długość $c$ :

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , stąd $c = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{169} = 13$ .

Mamy zatem: $P = \frac{1}{2} c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h = \frac{13}{2} \cdot h$ .

Obliczamy pole tego trójkąta korzystając ze wzoru $P = \frac{1}{2} a \cdot b$ :

$a = 5$ , $b = 12$ więc $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ .

Podstawiając $P = 30$ do wzoru: $P = \frac{13}{2} \cdot h$ , otrzymujemy $30 = \frac{13}{2} \cdot h$ , stąd $h = \frac{60}{13}$ .

Długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną wynosi $\frac{60}{13}$ , co należało udowodnić.

Przeczytaj

Sprawdź się