Ponieważ środek okręgu jest w punkcie $\left(-2,2\right)$, to korzystając z równania ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$, otrzymujemy

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=r^2$.

Punkt $A=\left(1,1\right)$ należy do okręgu ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=r^2$, czyli jego współrzędne spełniają równanie tego okręgu.

Wyznaczamy promień tego okręgu.

${\left(1+2\right)}^2+{\left(1-2\right)}^2=r^2$

$r^2=3^2+{\left(-1\right)}^2=9+1=10$

Równanie okręgu jest postaci ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=10$.

Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu, więc ich współrzędne spełniają jego równanie, możemy zapisać:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(6-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2=r^2\\ {\left(8-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2=r^2\end{array}\right.$.

Możemy zauważyć, że odejmując od pierwszego równania drugie, otrzymamy równanie zawierające tylko jedną niewiadomą.

${\left(6-a\right)}^2-{\left(8-a\right)}^2=0$

Po wykorzystaniu wzoru skróconego mnożenia przechodzimy do równania:

$36-12a+a^2-64+16a-a^2=0$.

Po redukcji wyrażeń podobnych mamy:

$4a-28=0$,

czyli

$a=7$.

Środek okręgu należy do prostej $y=\frac{2}{3}x-4$, więc $b=\frac{2}{3}a-4$.

Ponieważ $a=7$, to możemy wyliczyć drugą współrzędną środka okręgu.

$b=\frac{2}{3}·7-4=\frac{14}{3}-\frac{12}{3}=\frac{2}{3}$

Podstawiając $a=7$ i $b=\frac{2}{3}$ do równania ${\left(6-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2=r^2$, obliczamy promień okręgu.

$r^2={\left(6-7\right)}^2+{\left(2-\frac{2}{3}\right)}^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$

Równanie okręgu jest postaci ${\left(x-7\right)}^2+{\left(y-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}$.