Przeczytaj
Wiemy, że okręgiem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest równa .
Równanie
przedstawia okrąg o środku i promieniu .
W poniższych przykładach pokażemy, jak wyznaczyć współrzędne środka okręgu i jego promień , tak aby równanie było spełnione dla każdego z narzuconych warunków.
Zapiszemy równanie okręguokręgu o środku w punkcie i przechodzącego przez punkt .
Rozwiązanie:
Ponieważ środek okręgu znajduje się w punkcie , to korzystając z równania , możemy zapisać:
.
Punkt należy do okręgu opisanego równaniem , czyli jego współrzędne spełniają równanie tego okręgu.
Wyznaczamy promień okręgu.
Równanie okręgu ma zatem postać: .
Napiszemy równanie okręgu o promieniu i przechodzącego przez punkty i .
Rozwiązanie:
Promień okręgu wynosi , więc korzystając z równania , otrzymujemy
.
Jeżeli punkty i należą do okręgu o równaniu , to ich współrzędne spełniają równanie tego okręgu.
Z porównania lewych stron tych równań otrzymujemy
,
co po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia prowadzi do równania
.
Kontynuując przekształcenia otrzymujemy kolejno
,
,
stąd
.
Aby wyznaczyć , podstawiamy do równania .
Otrzymujemy równanie kwadratowe.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego wynosi
,
więc równanie ma dwa rozwiązania:
oraz .
Istnieją dwa okręgi o promieniu , przechodzące przez punkty i . Ich równania są następujące:
oraz .
Napiszemy równanie okręgu o promieniu i stycznego do obu osi układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Jeżeli okrąg o promieniu jest styczny do obu osi układu współrzędnych, oznacza to, że odległość jego środka od każdej osi wynosi . Istnieją cztery takie okręgi, a ich środki położone są w punktach:
, , i .
Równania okręgów spełniających warunki zadania są postaci:
,
,
,
.
Wyznaczymy równanie okręgu, do którego należą punkty wspólne wykresów funkcji i , wiedząc, że jego środek należy do prostej .
Rozwiązanie:
Aby znaleźć punkty wspólne krzywych i , rozwiązujemy układ równań.
Po przyrównaniu stronami, otrzymujemy
i ostatecznie równanie kwadratowe postaci
.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego wynosi
,
więc równanie ma dwa rozwiązania:
oraz .
Ponieważ , to dla mamy , a dla mamy .
Otrzymaliśmy punkty wspólne krzywych: i .
Punkty te należą do okręgu , czyli spełniają warunek: .
Środek okręgu należy do prostej , zatem
.
Wyznaczymy teraz współrzędne środka okręgu , wykorzystując warunek .
Odległość punktów , oraz wyraża się wzorem , zapisujemy:
oraz
.
Z warunku , otrzymujemy
.
Po podniesieniu obu stron równości do kwadratu, równanie przyjmuje postać
.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, doprowadzamy równość do postaci
.
Po redukcji wyrażeń podobnych, otrzymujemy
.
Stąd , a ponieważ , to
.
Środek okręgu leży w punkcie .
Otrzymaliśmy równanie okręgu postaci
,
a ponieważ , to
.
Równanie okręgu jest postaci .
Napisz równanie okręgu zawierającego punkty i , którego środek leży na prostej .
Rozwiązanie:
Okrąg zawiera dwa punkty i , więc jego środek leży na symetralnej odcinkasymetralnej odcinka . Ponieważ leży on również na prostej , więc środek okręgu leży w punkcie przecięcia obu tych prostych. Obrazuje to poniższy rysunek.
Rozpoczniemy od napisania równania symetralnej odcinka .
Symetralna przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła. Wyznaczamy współrzędne środka odcinka . Ponieważ i , to i .
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty i obliczymy, podstawiając współrzędne punktów i do równania prostej .
Odejmując od dolnego równania, równanie górne
,
otrzymujemy
.
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej z powyższego wzoru
.
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy , więc z warunku prostopadłości prostych
współczynnik kierunkowy prostej do niej prostopadłej jest równy .
Otrzymujemy .
Ponieważ prosta przechodzi przez punkt , to możemy obliczyć wyraz wolny .
Równanie symetralnej odcinka ma postać
.
Punkt wspólny prostych i jest środkiem okręgu.
Rozwiązujemy układ równań.
Mnożymy strony równania przez i wyznaczamy wartość .
Ponieważ , to podstawiając obliczony ,
Zatem środek okręgu ma współrzędne . Promień okręgu jest odległością środka okręgu od punktu leżącego na okręgu.
Szukane równanie okręgu jest postaci .
Zauważ, że można to zadanie rozwiązać metodą zaproponowaną w Przykładzie . Jeszcze inny sposób rozwiązania poznasz w Filmie samouczku.
Słownik
okrąg o środku i promieniu to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest równa
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka