Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym należy ustalić, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych utworzonych za pomocą cyfr , , .
R1epnIMoSJAOb
Polecenie 2
Korzystając z przykładu omówionego w animacji, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.
Wykaż, że suma wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry , , jest równa .
Skorzystamy z reguły równoliczności.
Zauważmy mianowicie, że:
każdej czterocyfrowej liczbie naturalnej spełniającej warunki zadania, której kolejnymi cyframi są , , , , można wzajemnie jednoznacznie przyporządkować liczbę spełniającą warunki zadania, której kolejnymi cyframi są , , , ,
suma takich dwóch liczb jest równa
, czyli .
Jak wiemy, wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry , , jest . Oznacza to, że jeżeli wypiszemy wszystkie te liczby, następnie do każdej z nich dodamy liczbę skojarzoną w parę (jak to jest opisane powyżej), a na koniec dodamy do siebie te liczby, to otrzymamy w sumie .
Ponieważ każdą z liczb zapisaliśmy w takiej sumie dokładnie dwa razy, więc na podstawie reguły równoliczności stwierdzamy, że suma wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry , , jest równa .