Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym należy ustalić, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych utworzonych za pomocą cyfr $1$ , $2$ , $3$ .

R1epnIMoSJAOb

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DWo7RRYfT

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej liczby wszystkich $k$ -elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ –elementowego.

Polecenie 2

Korzystając z przykładu omówionego w animacji, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Wykaż, że suma wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry $1$ , $2$ , $3$ jest równa $179982$ .

Skorzystamy z reguły równoliczności.

Zauważmy mianowicie, że:

każdej czterocyfrowej liczbie naturalnej spełniającej warunki zadania, której kolejnymi cyframi są $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , można wzajemnie jednoznacznie przyporządkować liczbę spełniającą warunki zadania, której kolejnymi cyframi są $4 - a$ , $4 - b$ , $4 - c$ , $4 - d$ ,

suma takich dwóch liczb jest równa
$1000 a + 1000 b + 10 c + d + 1000 \cdot (4 - a) +$
$+ 100 \cdot (4 - b) + 10 \cdot (4 - c) + (4 - d)$ ,
czyli $4444$ .

Jak wiemy, wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry $1$ , $2$ , $3$ jest $81$ . Oznacza to, że jeżeli wypiszemy wszystkie te liczby, następnie do każdej z nich dodamy liczbę skojarzoną w parę (jak to jest opisane powyżej), a na koniec dodamy do siebie te $162$ liczby, to otrzymamy w sumie $81 \cdot 4444$ .

Ponieważ każdą z liczb zapisaliśmy w takiej sumie dokładnie dwa razy, więc na podstawie reguły równoliczności stwierdzamy, że suma wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry $1$ , $2$ , $3$ jest równa $\frac{1}{2} \cdot 81 \cdot 4444 = 179982$ .

To właśnie należało udowodnić.

Przeczytaj

Sprawdź się