Przeczytaj
Doświadczenie polegające na – krotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może się skończyć na jeden z sposobów nazywa się – wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru – elementowego.
Liczba wszystkich – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru – elementowego.Liczba wszystkich – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru – elementowego.
Obliczymy, ile jest wszystkich funkcji, których dziedziną jest zbiór a zbiorem wartości jest zbiór .
Zauważmy, że każdy argument funkcji spełniającej warunki zadania może przyjmować jedną z trzech dostępnych wartości:
, , , , , .
Zatem każda taka funkcja da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować do sześcioelementowego ciągu , którego elementy przyjmują wartości ze zbioru trzyelementowego .
Dla przykładu:
spełniającej warunki zadania funkcji , takiej, że , , , , , , przypisany jest w ten sposób ciągciąg .
Zatem wszystkich takich funkcji jest tyle, ile sześcioelementowych wariacji z powtórzeniamiwariacji z powtórzeniami ze zbioru trzyelementowego, czyli .
Każda – elementowa wariacja z powtórzeniamiwariacja z powtórzeniami zbioru – elementowego jest funkcją ze zbioru – elementowego do zbioru – elementowego.
Rozpatrzmy siedmiokrotny rzut monetą.
Każdy wynik takiego doświadczenia możemy zapisać jako siedmioelementowy ciąg , gdzie każdy z wyników uzyskanych w kolejnych rzutach , , , , , , może przyjmować jedną z wartości: 'orzeł' lub 'reszka'.
Jeżeli te wartości oznaczymy jednoliterowym skrótem, odpowiednio oraz , to przykładowy wynik siedmiokrotnego rzutu monetą zapisany jako ciąg oznacza, że w czwartym oraz w szóstym rzucie wypadła reszka, a w każdym z pozostałych pięciu rzutów wypadł orzeł.
Ponieważ każdy wynik omawianego doświadczenia jest siedmioelementową wariacją z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru dwuelementowego, więc wszystkich możliwych wyników siedmiokrotnego rzutu monetą jest .
Rozpatrzmy trzykrotny rzut sześcienną kostką do gry.
Każdy wynik takiego trzykrotnego rzutu możemy zapisać jako trzyelementowy ciąg , gdzie każdy z wyników uzyskanych w kolejnych rzutach , , może przyjmować jedną z sześciu wartości: , , , , , .
Przykładowy wynik trzykrotnego rzutu kostką zapisany jako ciąg oznacza, że w pierwszym rzucie wypadła liczba oczek równa , w drugim – liczba oczek równa , a w trzecim – liczba oczek równa .
Ponieważ każdy wynik trzykrotnego rzutu sześcienną kostką do gry jest trzyelementową wariacją z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru sześcioelementowego, więc wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest .
Ustalimy, na ile sposobów można rozmieścić siedem ponumerowanych od do kul w pięciu urnach, ponumerowanych od do .
Zauważmy, że w powyższym zadaniu każdej kuli przypisujemy dokładnie jedną urnę (przyporządkowanie każdej urnie wrzuconych do niej kul NIE JEST funkcją – po rozmieszczeniu wszystkich kul znajdziemy urnę, w której są co najmniej dwie kule, a może się również tak zdarzyć, że pewna urna pozostanie pusta).
Każdy wynik takiego rozmieszczenia możemy zapisać jako siedmioelementowy ciąg , gdzie każdej z siedmiu kul , , , , , , przypisujemy numer urny, do której została wrzucona.
Przykładowy wynik rozmieszczenia tych siedmiu kul zapisany jako ciąg oznacza, że kule o kolejnych numerach od do zostały rozmieszczone w urnach o numerach odpowiednio: , , , , , , .
Ponieważ każdy wynik rozmieszczenia siedmiu ponumerowanych kul w pięciu ponumerowanych urnach jest siedmioelementową wariacją z powtórzeniamiwariacją z powtórzeniami ze zbioru pięcioelementowego, więc wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest .
Słownik
– wyrazowy ciąg o elementach wybieranych dowolnie (czyli z powtórzeniami) ze zbioru – elementowego
funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste
liczba wszystkich – elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru – elementowego jest równa .