Oznaczmy: $a=7$, $b=8$, $c=9$.

Wówczas: $a+b+c=2p$.

$7+8+9=24$.

$2p=24$, stąd $p=12$.

Podstawiamy do wzoru: $P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$,

$P=\sqrt{12\left(12-7\right)\left(12-8\right)\left(12-9\right)}=\sqrt{12·5·4·3}=\sqrt{4·3·5·4·3}=12\sqrt{5}$.

Pole trójkąta wynosi $12\sqrt{5}$.

Oznaczmy: $a=10$, $b=4$, $c=12$.

Otrzymujemy:

$a+b+c=2p$,

$10+4+12=26$,

$2p=26$, stąd $p=13$.

Podstawiamy do wzoru: $P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$,

$P=\sqrt{13\left(13-10\right)\left(13-4\right)\left(13-12\right)}=\sqrt{13·3·9·1}=3\sqrt{39}$.

Najdłuższa jest wysokość poprowadzona na bok o długości $b=4$.

Wykorzystujemy wzór na pole $P=\frac{1}{2}b·h$, $h$ – szukana wysokość.

Oznaczmy:

$b=4$, $P=3\sqrt{39}$.

Zatem $3\sqrt{39}=\frac{1}{2}·4·h$, stąd $h=\frac{3}{2}\sqrt{39}$.

Pole trójkąta wynosi $P=3\sqrt{39}$, a najdłuższa wysokość $h=\frac{3}{2}\sqrt{39}$.