Przeczytaj
Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znane są długości jego boków.
Wzór ten ma duże znaczenie praktyczne, pozwala obliczyć pole trójkąta bez znajomości jego wysokości. Jest to bardzo przydatne przy wyznaczaniu pola powierzchni gruntów.
Wzór Herona:
gdzie:
, , – długości boków trójkąta, , - pole trójkąta.
Wyprowadzenie wzoru Herona
Dany jest dowolny trójkąt :
,
,
,
,
.
Wykorzystamy wzór na pole trójkąta postaci:
Trójkąt jest prostokątny, zatem:
Z twierdzenia Pitagorasa:
Podstawiając do wzoru otrzymujemy:
Z twierdzenia cosinusówtwierdzenia cosinusów, dla trójkąta :
Ponieważ , to:
Podnosimy obie strony tego wyrażenia do kwadratu:
Mnożąc stronami przez otrzymujemy:
Podstawiając:
otrzymujemy:
Zapiszmy prawą stronę tej równości w postaci różnicy kwadratów:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy:
Po podstawieniu:
Pierwsze wyrażenie po prawej stronie zapiszemy jako:
Drugie wyrażenie po prawej stronie zapiszemy jako:
Otrzymujemy zatem:
Przekształcamy do postaci:
Otrzymujemy:
Ponieważ , zapisujemy wyrażenia w nawiasach następująco:
Po podstawieniu otrzymujemy:
Otrzymujemy ostateczny wzór:
Przy wyprowadzeniu wzoru skorzystaliśmy ze wzorów skróconego mnożenia:
Obliczmy pole trójkąta, którego boki mają długości , , .
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
, , .
Otrzymujemy:
,
,
, stąd .
Podstawiamy do wzoru: ,
.
Odpowiedź:
Pole trójkąta wynosi .
Obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości , i .
Rozwiązanie:
Skorzystamy ze wzoru: , gdzie:
– pole trójkąta,
– połowa obwodu trójkąta, – długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Obliczymy najpierw obwód tego trójkąta:
,
,
.
Wyznaczamy pole trójkąta:
.
Obliczamy długość promienia okręgu:
, zatem: .
Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości , i .
Rozwiązanie:
Skorzystamy ze wzoru: , gdzie:
– pole trójkąta,
– połowa obwodu trójkąta,
– długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Obliczymy najpierw obwód tego trójkąta:
,
,
.
Wyznaczamy pole trójkąta:
.
Obliczamy długość promienia:
, zatem: .
Długości boków trójkąta tworzą -wyrazowy ciąg arytmetyczny o różnicy . Suma dwóch skrajnych wyrazów tego ciągu jest o większa od wyrazu środkowego. Obliczymy pole trójkąta.
Rozwiązanie:
Oznaczymy wyrazy ciągu przez: , , .
Z warunków zadania: , zatem: .
Boki trójkąta mają zatem długości: , , .
Skorzystamy ze wzoru Herona: .
Obliczymy obwód tego trójkąta:
,
,
.
Wyznaczamy pole trójkąta:
.
Słownik
jeżeli , , są długościami boków trójkąta, natomiast , , odpowiednio miarami kątów leżących naprzeciw tych boków, to: