Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą równania stycznych do okręgu poprowadzonych przez punkt nie leżący na okręgu, a następnie rozwiąż zadania.

R43mv6fyFbuaM

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DZ7xkJ3Sg

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej równań stycznych do okręgu przechozących przez punkt nie leżący na okręgu.

Polecenie 2

Przez punkt $A = (0, 2)$ poprowadź styczne do okręgu $x^{2} + y^{2} = 1$ .

Punkt $A$ nie należy do okręgu.

Prostą styczną do okręgu $x^{2} + y^{2} = 1$ i przechodzącą przez punkt $A = (0, 2)$ przedstawimy w postaci $y = m (x - x_{A}) + y_{A}$ , czyli $y = m x + 2$ .

Rozwiązując to zadanie wykorzystamy wzór na odległość punktu od prostej.
W tym celu zapiszemy równanie prostej stycznej następująco: $m x - y + 2 = 0$ .

Prosta $m x - y + 2 = 0$ jest styczną do okręgu, więc odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia okręgu.

Okrąg $x^{2} + y^{2} = 1$ ma środek w punkcie $O = (0, 0)$ i promień $r = 1$ .

Wykorzystując wzór $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ otrzymujemy $r = \frac{|A \cdot a + B \cdot b + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , gdzie $O = (a, b)$ jest środkiem okręgu.

Podstawiając $r = 1, a = 0, b = 0, A = m, B = - 1, C = 2$ otrzymujemy $\frac{|m \cdot 0 + (- 1) \cdot 0 + 2|}{\sqrt{m^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 1$ , co prowadzi do równania $\frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}} = 1$ .

Podnosimy obie strony równania do kwadratu, a następnie mnożymy przez $m^{2} + 1$ . Otrzymujemy równanie kwadratowe postaci $4 = m^{2} + 1$ , a następnie $m^{2} = 3$ .

Równanie $m^{2} = 3$ ma dwa rozwiązania $m_{1} = \sqrt{3}$ i $m_{2} = - \sqrt{3}$ .

Styczne są postaci $y = m x + 2$ . Mamy dwie proste styczne do okręgu $y = \sqrt{3} x + 2$ , $y = - \sqrt{3} x + 2$ .

Polecenie 3

Styczna do okręgu ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 5$ , przechodząca przez punkt $P = (- 1, 3)$ jest równoległa do prostej $y = - 2 x - 10$ . Podaj współrzędne punktu styczności.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt $P = (x_{p}, y_{p})$ jest postaci $y = m (x - x_{p}) + y_{p}$ , czyli dla $P = (- 1, 3)$ mamy $y = m (x + 1) + 3 = m x + m + 3$ .
Ponieważ jest ona równoległa do prostej $y = - 2 x - 10$ , to z warunku równoległości prostych wiemy, że mają one takie same współczynniki kierunkowe, stąd $m = - 2$ .

Równanie stycznej do okręgu jest postaci $y = - 2 x + 1$ .

Szukając punktu styczności prostej i okręgu, musimy rozwiązać układ równań:

$\{\begin{cases} y = - 2 x + 1 \\ {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 5 \end{cases}$

Podstawiając $y = - 2 x + 1$ przechodzimy do równania ${(x - 3)}^{2} + {(- 2 x + 1)}^{2} = 5$ .

Po przekształceniu lewej strony równania mamy: ${(x - 3)}^{2} + {(- 2 x + 1)}^{2} = x^{2} - 6 x + 9 + 4 x^{2} - 4 x + 1 = 5 x^{2} - 10 x + 10$ .

Po redukcji, rozwiązujemy równanie kwadratowe $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ .

Wyróżnik tego trójmianu wynosi $Δ = 4 - 4 = 0$ , więc istnieje jedno rozwiązanie $x = - \frac{- 2}{2} = 1$ .

Wyznaczając wartość $y$ z równania $y = - 2 x + 1$ , otrzymujemy $y = - 1$ .

Punkt $A = (1, - 1)$ jest punktem styczności prostej $y = - 2 x + 1$ z okręgiem ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 5$ .

Przeczytaj

Sprawdź się