Przeczytaj
Prostą, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgustyczną do okręgu. Punkt wspólny nazywamy punktem styczności.
Prosta jest styczna do okręgu w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy punkt jest punktem wspólnym okręgu i prostej oraz jednocześnie odcinek , łączący środek okręgu z tym punktem, jest prostopadły do prostej .
Podamy teraz konstrukcyjny sposób poprowadzenia przez dany punkt, nie należący do okręgu, stycznych do tego okręgu.
Konstrukcja
Rysujemy okrąg i zaznaczamy punkt . Następnie rysujemy odcinek .
R1PkmneeAxVEu Prowadzimy symetralną odcinka , która przechodzi przez jego środek w punkcie .
R1NKIR0NlzmqI
3. Zakreślamy okrągokrąg o środku w punkcie i promieniu .
Wyznaczamy punkty wspólne tego okręgu i okręgu danego. Przez każdy z tych punktów i punkt prowadzimy prostą.
RS3NzEWAUH4qD
Prosta jest styczna do okręgu, ponieważ kąt wpisany jest oparty na średnicy , więc ma miarę . Prosta jest prostopadła do odcinka , zatem odległość punktu od tej prostej w punkcie jest równa promieniowi danego okręgu.
Opisana konstrukcja pozwala wyznaczyć dwie styczne dla każdego punktu leżącego poza danym okręgiem.
Z danego punktu leżącego poza okręgiem, można poprowadzić dwie styczne do tego okręgu.
Wykorzystamy powyższą metodę do wyznaczenia równań stycznych do okręgu.
Napiszemy równania stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu .
Rozwiązanie:
Równanie prostej przechodzącej przez punkt jest postaci .
Dla danego punktu otrzymujemy zatem równanie prostej w postaci .
Z równania danego okręgu wiemy, że ma środek w punkcie .
Opierając się na przedstawionej konstrukcji, wyznaczymy równanie okręgu o środku w punkcie , będącym środkiem odcinka .
Wyznaczymy współrzędne punktu korzystając ze wzoru na środek odcinka. , czyli .
Promień okręgu o środku w punkcie wynosi .
Równanie okręgu o środku w punkcie ma zatem postać .
Punkty przecięcia okręgów i są punktami styczności prostych przechodzących przez punkt .
Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, równanie okręgu , przyjmuje postać , a po redukcji wyrażeń podobnych: .
Szukamy punktów przecięcia obu okręgów, w tym celu rozwiązujemy układ równań:
Odejmując stronami równanie pierwsze od drugiego, otrzymujemy: , stąd .
W równaniu podstawiamy i otrzymujemy równanie .
Poprzez przekształcenia otrzymujemy , a następnie , dochodzimy do równania kwadratowego postaci . Wyróżnik tego trójmianu wynosi , czyli równanie ma dwa rozwiązania:
i .
Ponieważ , więc , a .
Otrzymaliśmy punkty styczności i , możemy przejść do wyznaczenia równań stycznych.
Równanie stycznej zapiszemy jako:
.
Wiedząc, że przechodzi przez punkt , otrzymujemy ,
Równanie stycznej przyjmuje więc postać:
Równanie stycznej zapiszemy jako:
.
Wiedząc, że przechodzi przez punkt , otrzymujemy, .
Równanie stycznej przyjmuje więc postać:
W ten sposób otrzymaliśmy równania prostych oraz przechodzących przez punkt i stycznych do okręgu .
Wzajemne położenie prostej i okręgu możemy określić poprzez analizę liczby rozwiązań układu równań:
Po podstawieniu do drugiego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe.
Możliwe są trzy przypadki:
– prosta ma z okręgiem dwa (różne) punkty wspólne – jest sieczną okręgu,
– prosta nie ma punktu wspólnego z okręgiem,
– prosta ma z okręgiem jeden punkt wspólny (podwójny), czyli jest styczną do okręgu.
Prosta jest styczną do okręgu , gdy równanie kwadratowe wynikające z układu równań:
ma jedno rozwiązanie.
Napiszemy równania stycznych do okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych. .
Rozwiązanie:
Równanie prostej, na której leży punkt będący początkiem układu współrzędnych, ma postać . Rozwiązujemy układ równań:
Podstawiamy do równania i otrzymujemy:
, które zapisujemy w postaci .
Wyróżnik tego trójmianu musi być równy zeru, ponieważ wtedy prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem, czyli:
Stąd otrzymujemy dwie wartości : , .
Podstawiając uzyskane wartości do równania prostej , otrzymujemy równania dwóch stycznych , .
Wzajemne położenie okręgu i prostej na płaszczyźnie można również określić badając odległość prostej od środka okręgu.
Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest:
większa od długości promienia okręgu, to prosta i okrąg nie mają punktu wspólnego,
mniejsza od długości promienia okręgu, to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne – prostą nazywamy wtedy sieczną okręgu,
równa długości promienia okręgu, to prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny – prostą nazywamy wtedy styczną do okręgu.
Prosta jest styczną do okręgu, jeżeli jej odległość od środka okręgu jest równa długości promienia okręgu.
Odległość punktu od prostej opisuje wzór . W naszym przypadku odległość środka okręgu od prostej będącej styczną jest równa promieniowi, czyli:
, gdzie jest środkiem okręgu.
Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: poprowadzonych z punktu .
Rozwiązanie
Proste styczne do okręgu mają równania postaci: . Skoro przechodzą przez punkt , to: , stąd: i: .
Zapiszemy równanie stycznej w postaci ogólnej: .
Odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia. Środek okręgu to punkt a promień ma długość .
Zatem:
lub
Mamy więc odpowiednio: lub .
Styczne do okręgu o równaniu: poprowadzone z punktu mają równania: lub .
Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: równoległych do prostej o równaniu .
Rozwiązanie
Proste styczne do okręgu i równoległe do prostej mają równania postaci: .
Odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia, czyli .
Równanie stycznej zapiszemy w postaci ogólnej: i skorzystamy ze wzoru dla odległość punktu od prostej:
lub .
Ostatecznie równania stycznych mają postać: lub
Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: prostopadłych do prostej o równaniu .
Rozwiązanie
Proste styczne do okręgu i prostopadłe do prostej mają równania postaci: .
Odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia, czyli .
Równanie stycznej zapiszemy w postaci ogólnej: i skorzystamy ze wzoru dla odległość punktu od prostej:
lub .
Ostatecznie równania stycznych mają postać: lub
Słownik
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest równa
prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem; punkt wspólny nazywamy punktem styczności