Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą równania siecznych okręgu, a następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

Rgk0h49oGVtO5

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DdkqSMHGH

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego siecznej okręgu na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Polecenie 2

Podaj punkty przecięcia prostej o równaniu $y = - 2 x + 2$ z okręgiem $x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0$ .

Aby znaleźć punkty wspólne prostej i okręgu rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - 2 x + 2 \\ x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0 \end{cases}$

Podstawiamy $y = - 2 x + 2$ do równania $x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0$ i otrzymujemy:

$x^{2} + {(- 2 x + 2)}^{2} + 6 x + 4 \cdot (- 2 x + 2) - 12 = 0$

$x^{2} + 4 x^{2} - 8 x + 4 + 6 x - 8 x + 8 - 12 = 0$

$5 x^{2} - 10 x = 0$

Wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego $5 x^{2} - 10 x = 0$ .

W tym celu zapiszemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:

$5 x (x - 2) = 0$ .

Równanie to ma dwa rozwiązania $x_{1} = 0$ i $x_{2} = 2$ .

Ponieważ $y = - 2 x + 2$ , stąd $y_{1} = 2$ i $y_{2} = - 2$ .

Punkty $(0, 2)$ i $(2, - 2)$ są punktami wspólnymi prostej $y = - 2 x + 2$ i okręgu $x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y - 12 = 0$ .

Polecenie 3

Podaj równanie okręgu o środku w punkcie $O = (1, 1)$ , który odcina na prostej $3 x - 4 y - 29 = 0$ cięciwę o długości równej $16$ .

Musimy wyznaczyć promień okręgu.

Obliczamy odległość punktu $O = (1, 1)$ od prostej $k$ o równaniu: $3 x - 4 y - 29 = 0$ .

$A = 3$ , $B = - 4$ , $C = - 29$ , $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 1$ .

Ze wzoru $d = \frac{|{A x}_{0} + {B y}_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , mamy zatem dalej $d = \frac{|3 \cdot 1 + (- 4) \cdot 1 - 29|}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}} = \frac{|- 30|}{\sqrt{25}} = \frac{30}{5} = 6$ .

Odległość środka okręgu od danej prostej jest równa $6$ , prostopadła do cięciwy poprowadzona przez punkt $O$ dzieli cięciwę na dwie części o równej długości, więc $|A M| = |M B| = 8$ .

RnPbXnRUqczh8

Grafika przedstawia okrąg o środku w punkcie O przez który przechodzi prosta k. Punkty przecięcia prostej z okręgiem podpisano A oraz B. Odcinki AO oraz BO podpisano literami r. Ze środka okręgu poprowadzono promień pod kątem prostym do prostej k. Punkt przecięcia się tego promienia z prostą podpisano literą M. Odcinek OM podpisano literą d.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$d^{2} + {|M B|}^{2} = r^{2}$ , czyli $r^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$ .

Otrzymujemy zatem, że $r = 10$ .

Szukane równanie okręgu ma postać: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 100$ .

Przeczytaj

Sprawdź się