Aby znaleźć punkty wspólne prostej i okręgu rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ x^2+y^2+6x+4y-12=0\end{array}\right.$

Podstawiamy $y=-2x+2$ do równania $x^2+y^2+6x+4y-12=0$ i otrzymujemy:

$x^2+{\left(-2x+2\right)}^2+6x+4·\left(-2x+2\right)-12=0$

$x^2+4x^2-8x+4+6x-8x+8-12=0$

$5x^2-10x=0$

Wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego $5x^2-10x=0$.

W tym celu zapiszemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:

$5x\left(x-2\right)=0$.

Równanie to ma dwa rozwiązania $x_1=0$ i $x_2=2$.

Ponieważ $y=-2x+2$, stąd $y_1=2$ i $y_2=-2$.

Punkty $\left(0,2\right)$ i $\left(2,-2\right)$ są punktami wspólnymi prostej $y=-2x+2$ i okręgu $x^2+y^2+6x+4y-12=0$.

Musimy wyznaczyć promień okręgu.

Obliczamy odległość punktu $O=\left(1,1\right)$ od prostej $k$ o równaniu:  $3x-4y-29=0$.

$A=3$, $B=-4$, $C=-29$, $x_0=1$, $y_0=1$.

Ze wzoru $d=\frac{\left|{Ax}_0+{By}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ , mamy zatem dalej $d=\frac{\left|3\cdot 1+\left(-4\right)\cdot 1-29\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{\left|-30\right|}{\sqrt{25}}=\frac{30}{5}=6$.

Odległość środka okręgu od danej prostej jest równa $6$, prostopadła do cięciwy poprowadzona przez punkt $O$ dzieli cięciwę na dwie części o równej długości, więc $\left|AM\right|=\left|MB\right|=8$.

RnPbXnRUqczh8

Grafika przedstawia okrąg o środku w punkcie O przez który przechodzi prosta k. Punkty przecięcia prostej z okręgiem podpisano A oraz B. Odcinki AO oraz BO podpisano literami r. Ze środka okręgu poprowadzono promień pod kątem prostym do prostej k. Punkt przecięcia się tego promienia z prostą podpisano literą M. Odcinek OM podpisano literą d.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$d^2+{\left|MB\right|}^2=r^2$, czyli $r^2=6^2+8^2=100$.

Otrzymujemy zatem, że $r=10$.

Szukane równanie okręgu ma postać: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=100$.